Tích phân từng phần là một trong những nội dung trọng tâm mà các em sẽ học trong chương trình toán học 12. Để học tốt nội dung này và đạt được điểm cao trong kỳ thi, Team Marathon Education sẽ cùng các em tìm hiểu cụ thể tích phân từng phần là gì, đồng thời tổng hợp công thức, các dạng toán thường gặp và cách giải để các em tham khảo.
Tích phân từng phần là phương pháp tìm tích phân của các hàm số có dạng tích dựa trên việc phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm số đó.
Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.
Tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa 2 hàm số khác nhau trong 4 hàm số, bao gồm: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ.
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì ta có công thức:
\int_a^bu(x)v'(x)=u(x)v(x)|^b_a-\int^b_au'(x)v(x)dx
Các em có thể viết gọn thành công thức tổng quát sau:
\int_a^budv=uv|^b_a-\int^b_avdu
Các bài toán tính tích phân từng phần được chia làm 4 dạng bài thường gặp. Các em có thể tham khảo qua những dạng toán này và ôn tập để chuẩn bị kiến thức cho những kỳ thi sắp tới.
Công thức chung:
\int^n_mf(x)ln(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải:
Khi gặp dạng toán này, các em hãy thực hiện các bước sau để giải:
\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}\\
&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\
&\int_m^nf(x)ln(ax+b)dx=uv|_m^n-\int_m^nvdu
\end{aligned}Ví dụ minh họa:
Tính tích phân của biểu thức sau:
I=\int_1^2(4x+3)lnxdx
Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt}\begin{cases}u=lnx\\dv=(4x+3)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=2x^2+3x\end{cases}\\
&\text{Khi đó: }I=(2x^2+3x)lnx|^2_1-\int_1^2\frac{2x^2+3x}{x}dx\\
&=14ln2-0-(x^2+3x)|^2_1\\
&=14ln2-0-[(2^2+3.2)-(1^2+3.1)]\\
&=14ln2-(10-4)\\
&=14ln2-6\\
\end{aligned}Công thức chung:
\small \int_m^nf(x)sin(ax+b)dx\ \text{hoặc}\int_m^nf(x)cos(ax+b)dxTrong đó, f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\small\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\
&\small\text{hoặc}\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\
&\small\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Tính tích phân theo công thức}\\
&\small\int_m^nf(x)sin(ax+b)dx=uv|_m^n-\int_m^nvdu\\
&\text{hoặc }\small\int_m^nf(x)cos(ax+b)dx=uv|_m^n-\int_m^nvdu
\end{aligned}Ví dụ minh họa:
B=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdxBài giải:
\begin{aligned}
&B=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\\
&\text{Đặt }u=x+1 \implies du=dx\\
&dv=sinxdx \implies v=-cosx\\
&\text{Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:}\\
&B=\int_0^\frac{\pi}{2}(x+1)sinxdx\\
&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+\int_0^\frac{\pi}{2}cosxdx\\
&=-(x+1)cosx|_0^\frac{\pi}{2}+sinx|_0^\frac{\pi}{2}\\
&=1+1=2\\
&\text{Vậy }B=2
\end{aligned}Công thức chung:
\small\int_m^ne^{ax+b}sin(cx+d)dx\ \text{hoặc} \int_m^ne^{ax+b}cos(cx+d)dxPhương pháp giải:
Với dạng toán tìm tích phân của một biểu thức cho chứa hàm mũ và hàm lượng giác, các em hãy thực hiện giải toán bằng 2 bước sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\textbf{Bước 1: }\text{Ta tiến hành đặt}\\
&\small\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}\text{hoặc}\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}\\
&\footnotesize\textbf{Bước 2: }\text{Suy ra được công thức theo u và v như sau:}\\
&\int_m^nudv=uv|_m^n-\int_m^nvdu
\end{aligned}Lưu ý: Phải thực hiện 2 lần tích phân từng phần.
Ví dụ minh họa:
Tính tích phân của biểu thức sau:
I = \int e^{-2x}cos3xdxBài giải:
\begin{aligned}
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=cos3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=\frac{1}{3}sin3x \end{cases}\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\int e^{-2x}sin3xdx\\
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=e^{-2x}\\dv=sin3xdx\end{cases}\implies\begin{cases}du=-2e^{-2x}\\v=-\frac{1}{3}cos3x \end{cases}\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&I=\frac{1}{3}e^{-2x}sin3x+\frac{2}{3}\left[-\frac{1}{3}e^{-2x}cos3x -\frac{2}{3}\int e^{-2x}cos3xdx\right].\\
&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}\int e^{-2x}cos3xdx\\
&\ \ =\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)-\frac{4}{9}I\\
&\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}{9}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)\\
&\small\text{Vậy }I=\frac{1}{13}e^{-2x}(3sin3x -2cos3x)+C
\end{aligned}Công thức chung:
\int_a^b P(x)e^xdx
Trong đó, P(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải:
Để tính tích phân của biểu thức chứa hàm đa thức và hàm mũ, các em tiến hành:
\text{Đặt}\begin{cases}u=P(x)\\dv=e^xdx\end{cases}Ví dụ minh họa:
C=\int_0^{1}xe^{-2x}dxBài giải:
\begin{aligned}
&\small\text{Đặt}\begin{cases}u=x\\dv=e^{-2x}dx\end{cases} \implies \begin{cases}du=dx\\dv=-\frac{1}{2}e^{-2x}\end{cases}\\
&\small\text{Áp dụng công thức tính tích phân từn phần, ta được:}\\
&\int_0^{1}xe^{-2x}dx\\
&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1+\frac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx\\
&=\left.-\frac{x}{2}e^{-2x}\right|_0^1-\left.\frac{1}{4}e^{-2x}\right|_0^1\\
&=\frac{1}{4} \left( 1-\frac{3}{e^2}\right)\\
&\small\text{Vậy }C=\frac{e^2-3}{4e^2}
\end{aligned}Có thể nói, tích phân từng phần là một nội dung khá phức tạp và việc ghi nhớ các công thức, các dạng toán cũng không hề dễ dàng với các em. Bởi vậy, bên cạnh việc chú ý nghe giảng trên lớp và tự học ở nhà, các em nên đăng ký học với Marathon Education – nền tảng học livestream chất lượng và uy tín cho học sinh cấp 3 toàn quốc.
Đội ngũ giáo viên đang công tác tại đây đều là những người có bề dày kinh nghiệm giảng dạy, có trình độ Thạc sĩ trở lên và thuộc TOP 1% các thầy cô dạy giỏi toàn quốc.
Bên cạnh đó, khi đăng ký các khóa học tại Marathon Education, các em sẽ nhận được sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa được biên soạn kỹ lưỡng, giúp hệ thống lại các kiến thức và nội dung các em đã học. Đội ngũ Cố vấn học tập – Academic Mentor sẽ theo sát quá trình lên lớp, hỗ trợ tư vấn nhiệt tình và cá nhân hóa lộ trình học tập cho các em.
Điểm khác biệt của Marathon Education là dạy học livestream trên nền tảng trực tuyến. Vì thế, khi học các em hoàn toàn có thể tương tác với thầy cô, mang đến những trải nghiệm học tập tốt nhất. Đồng thời, các lớp học luôn được đảm bảo có đường truyền ổn định, không bị giật lag với âm thành và hình ảnh rõ ràng, sắc nét.
Các em hãy đăng ký ngay lớp học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa lớp 10 – 11 – 12 tại Marathon Education từ hôm nay cho đến 15/02/2022 để được hưởng ưu đãi học phí lên đến 39% nhé.
Thông qua bài viết này, Team Marathon Education đã chia sẻ cho các em nhiều thông tin về tích phân từng phần, công thức, các dạng toán thường gặp và phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp các em ứng dụng để giải nhanh bài tập và có được kết quả học tập tốt nhất. Chúc các em học tốt và có được nhiều thành tích cao trong học tập!
