Nguyên hàm từng phần được biết đến là một trong những phương pháp để giải các bài toán nguyên hàm nâng cao. Đây cũng là một phương pháp khá phức tạp nên trong quá trình áp dụng, các em rất dễ nhầm lẫn. Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu chính xác về nguyên hàm từng phần, các dạng toán thường gặp và phương pháp giải hiệu quả.
>>> Xem thêm:
Với hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên tập K thì ta có công thức tổng quát của nguyên hàm từng phần như sau:
int udv=uv-int vdu
Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần các em cần lưu ý:
begin{aligned}
&footnotesizecirctext{Biểu thức nguyên hàm }log_a^nf(x), ln^nf(x) text{thì phải tính n lần tích phân}\
&footnotesizetext{từng phần.}\
&footnotesizecirctext{Nếu biểu thức có chứa đa thức bậc n mà không chứa hàm logarit thì}\
&footnotesizetext{ các em cũng phải tính tích phân từng phần n lần.}
end{aligned}Tính nguyên hàm của hàm số logarit:
I=int f(x)ln(ax+b)dx
Trong đó, f(x) là một hàm của đa thức
Phương pháp để giải dạng toán này được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Tiến hành đặt:
begin{cases}u=ln(ax+b)\dv=f(x)dxend{cases}
implies begin{cases}du=frac{a}{ax+b}dx\v=int f(x)dxend{cases}Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có thể suy ra được:
I=uv-int vdu
Các em hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng toán này:
Ví dụ: tính nguyên hàm của hàm số:
f(x)=x.lnx
Dựa theo phương pháp giải ở trên, các em sẽ thấy được:
F(x)=int f(x)dx = int x.lnx.dx
Các em tiến hành đặt biểu thức ở dạng:
begin{cases}u=lnx\dv=xdxend{cases}
implies begin{cases}du=frac{dx}{x}\v=frac{x^2}{2}end{cases}Theo công thức nguyên hàm từng phần sẽ có được:
F(x)=frac{1}{2}x^2lnx-frac{1}{2}int xdx=frac{1}{2}x^2lnx-frac{1}{4}x^2+CTính nguyên hàm của hàm số mũ:
A=int f(x).e^{ax+b}dxTrong đó, f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải như sau:
Bước 1: Các em tiến hành đặt:
begin{cases}u=f(x)\dv=e^{ax+b}dxend{cases}
implies begin{cases}du=f'(x)dx\v=frac{1}{a}e^{ax+b}dxend{cases}Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có được:
int f(x)e^{ax+b}dx = uv-int vduCác em tiếp tục theo dõi ví dụ sau:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của biểu thức:
I=int x.e^xdx
Cách giải:
Các em tiến hành đặt:
begin{cases}u=x\dv=e^xdxend{cases}
implies begin{cases}du=dx\v=e^xend{cases}Theo công thức nguyên hàm từng phần ta sẽ có được:
begin{aligned}
I&=int xe^xdx\
&=xe^x-int e^xdx\
&=xe^x-int d(e^x)\
&=xe^x-e^x+C
end{aligned}Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác:
begin{aligned}
&A=int f(x)sin(ax+b)dx\
&text{Hoặc}\
&B=int f(x)cos(ax+b)dx
end{aligned}Phương pháp giải:
Bước 1: Các em tiến hành đặt:
begin{aligned}
&begin{cases}u=f(x)\dv=sin(ax+b)dxend{cases}
implies begin{cases}du=f'(x)dx\v=-frac{1}{a}cos(ax+b)end{cases}\
&text{Hoặc}\
&begin{cases}u=f(x)\dv=cos(ax+b)dxend{cases}
implies begin{cases}du=f'(x)dx\v=frac{1}{a}sin(ax+b)end{cases}\
end{aligned}Bước 2: Thực hiện biến đổi thành:
begin{aligned}
&int f(x)sin(ax+b)dx=uv-int vdu\
&text{Hoặc}\
&int f(x)cos(ax+b)dx=uv-int vdu\
end{aligned}Các em có thể tham khảo ví dụ cụ thể sau để dễ hiểu hơn:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm lượng giác:
A=int x.sinx.dx
Dựa vào phương pháp giải ở trên, các em đặt:
begin{cases}u=x\dv=sinxdxend{cases}
implies begin{cases}du=dx\v=-cosxend{cases}\Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, các em sẽ có được:
A=-xcosx+int cosxdx=-xcosx+sinx+C
Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ:
begin{aligned}
&int e^{ax+b}sin(cx+d)dx\
&text{Hoặc}\
&int e^{ax+b}cos(cx+d)dx
end{aligned}Phương pháp giải được thực hiện như sau:
begin{cases}u=sin(cx+d)\dv=e^{ax+b}dxend{cases}
text{Hoặc} begin{cases}u=cos(cx+d)\dv=e^{ax+b}dxend{cases}Các em cũng cần lưu ý, ở dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này thì các em nên lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1, các em cũng có thể đặt theo cách sau:
begin{cases}u=e^{ax+b}\dv=sin(cx+d)dxend{cases}
text{Hoặc} begin{cases}u=e^{ax+b}\dv=cos(cx+d)dxend{cases}Sau đây là một ví dụ để các em dễ hình dung hơn:
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm từng phần của hàm lượng giác và hàm e mũ:
I=int sinx.e^xdx
Ta tiến hành đặt:
begin{cases}u=sinx\dv=e^xdxend{cases}
implies begin{cases}du=cosxdx\v=e^xend{cases}\Lúc này, các em có thể suy ra được:
I=e^xsinx-int cosxe^xdx=e^xsinx-J
Và:
J=int cosx.e^xdx
Để tính J, các em cần phải lấy nguyên hàm từng phần lần 2 như sau:
Đặt:
begin{cases}u=cosx\dv=e^xdxend{cases}
implies begin{cases}du=-sinxdx\v=e^xend{cases}\Ta có:
begin{alignat*}{2}
&J=e^xcosx+int sinx.e^xdx\
&=e^xcosx+I\
&footnotesizetext{Lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành:}\
&=e^xsinx-J\
&=e^xsinx-(e^xcosx+I)\
&Leftrightarrow 2I=e^xsinx-e^xcosx\
&text{Vậy }I=frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C
end{alignat*}Nguyên hàm từng phần là dạng toán mà các em sẽ học trong chương trình toán đại số 12. Để đạt được kết quả học tập tốt nhất, các em cần nắm chắc các công thức, dạng toán, cách giải và thường xuyên giải các bài tập liên quan.
Đồng thời, các em cũng nên đăng ký các khóa học online song song với việc học tập ở trường, lớp để củng cố và mở rộng kiến thức. Hiện nay, Marathon Education là nền tảng lớp học livestream online Toàn – Lý – Hóa chất lượng, uy tín dành cho học sinh khối 10 – 11 – 12 mà các em có thể tham khảo.
Các lớp học Toán – Lý – Hóa tại Marathon Education đều do đội ngũ giáo viên thuộc TOP 1% giảng viên dạy giỏi trên cả nước đứng lớp. Các thầy cô đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy.
Bên cạnh đó, đội ngũ Cố vấn học tập của Marathon Education cũng sẽ luôn đồng hành cùng các em, sẵn sàng hỗ trợ giải đáp mọi thắc mắc và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em trong suốt quá trình học.
Marathon Education còn có nền tảng Công Nghệ hiện đại đảm bảo chất lượng các lớp học livestream tốt nhất với âm thanh to rõ, hình ảnh sắc nét và đường truyền ổn định không bị giật/lag. Đồng thời, với hình thức học livestream, các em có thể tương tác trực tiếp với thầy cô như khi học tập offline.
Để giúp các em hệ thống hóa và ghi nhớ kiến thức tốt hơn, Team Marathon còn đặc biệt gửi tặng các em sổ tay bí kíp Toán – Lý – Hóa được biên soạn kỹ lưỡng, chỉn chu. Học tập tại Marathon Education sẽ giúp các em cải thiện học lực một cách tối đa. Các em hãy nhanh tay đăng ký ngay khóa học livestream online Toán – Lý – Hóa lớp 10 – 11 – 12 tại Marathon Education từ hôm nay đến trước ngày 15/02/2022 để được ưu đãi giảm giá học phí lên đến 39% nhé.
Hy vọng những thông tin mà Team Marathon Education đã chia sẻ ở trên có thể giúp các em hiểu rõ hơn về công thức nguyên hàm từng phần. Bên cạnh đó, các em cũng làm quen được với các dạng toán thường gặp và cách giải nhanh, chính xác nhất. Các em hãy chú ý học bài và đừng quên ôn tập để áp dụng giải các bài tập khi cần nhé. Chúc các em học tốt!
