Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần đại số giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em thống kê kiến thức và ôn tập hiệu quả, Team Marathon Education đã tổng hợp những lý thuyết cơ bản cùng một số bài tập ví dụ cụ thể trong bài viết dưới đây. Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé!
Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.
Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:
3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:
(\smallint{f(x)dx})'=f(x)\ \ \ \ \footnotesize{\text{và}}\ \ \ \smallint{f'(x)dx}=f(x)+C\smallint{kf(x)dx}=k\smallint{f(x)dx}\ \ \footnotesize{\text{với k là hằng số khác 0}}\smallint{[f(x)\pm g(x)]}dx = \smallint{f(x)dx}\pm \smallint{g(x)dx}>>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Hàm Và cách giải nguyên hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Đây là phần bài tập ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức Toán 12 nguyên hàm.
Đề bài:
a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.
Hướng dẫn giải bài tập:
a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính chất của tích phân:
\begin{aligned}
&\int^a_bf(x)dx=0\\
&\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx\\
&\int^b_akf(x)dx=k\int^b_af(x)dx\\
&\int^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \int^b_a{f(x)dx}\pm \int^b_a{g(x)dx}\\
&\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx
\end{aligned}Đề bài:
Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:
\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}Hướng dẫn giải bài tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}b. Ta có:
\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+Cc. Ta có:
\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}Suy ra:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}d. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc các em còn có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dxTa có:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}Đề bài:
Tính một số nguyên hàm sau:
\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}Hướng dẫn giải bài tập:
\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}>>> Xem thêm: Nguyên Hàm Từng Phần – Công Thức Và Phương Pháp Giải
Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến dành cho học sinh cấp 3 trên toàn quốc. Với nền tảng này, các em hoàn toàn chủ động học các môn toán 10 – 11 – 12 mọi lúc mọi nơi với thời gian phù hợp.
Thầy cô giảng dạy tại Marathon Education thuộc TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc nên các em có thể hoàn toàn yên tâm về chất lượng giảng dạy. Nội dung chương trình học tại Marathon cũng theo sát nội dung các môn Toán, Lý, Hoá tại trường.
Trong quá trình học tập của mình, các em có thể liên hệ với đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn bất cứ lúc nào để được tư vấn và hỗ trợ nhanh chóng. Ngoài ra, khi đăng ký các khóa học tại Marathon Education, các em sẽ được nhận sổ tay Toán – Lý – Hóa “cực kỳ xịn”, giúp tổng hợp và hệ thống lại nội dung và công thức mà các em đã học.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng Công Nghệ livestream, Marathon Education luôn đảm bảo lớp học có đường truyền, hình ảnh và âm thanh ổn định với chất lượng tốt nhất. Đồng thời, các em cũng sẽ được tương tác với giáo viên như khi học offline.
Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán, Lý, Hoá 10 – 11 – 12 ngay tại Marathon Education trước ngày 15/02/2022 ngay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% nhé!
Trong bài viết trên, Team Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em lý thuyết cùng bài tập vận dụng về toán 12 nguyên hàm một cách đầy đủ, chi tiết. Hy vọng các em sẽ nắm vững mảng kiến thức này, từ đó học tốt môn Toán hơn. Các em hãy theo dõi Marathon Education hằng ngày để tìm hiểu thêm những kiến thức bổ ích các nhé! Chúc các em luôn học tập tốt!
$$\frac{1}{2}$$
