Số phức là một trong những nội dung quan trọng trong phần Đại số lớp 12. Vậy số phức là gì? Số phức liên hợp là gì? Trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em củng cố kiến thức về số phức, số phức liên hợp và những tính chất liên quan.
Các phương trình bậc hai như x2 + 1 = 0 không có nghiệm thực, vì x2 không thể bằng -1. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đã đưa ra khái niệm số phức. Đơn vị ảo của số phức có kí hiệu là i và là nghiệm của phương trình i2 = -1.
Vậy, số phức (tên tiếng Anh là complex number) là số có dạng z = a + bi. Trong đó a và b là các số thực, còn i là đơn vị ảo với i2 = -1. Đồng thời, a được gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, còn i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
Ví dụ:
6 + 8i, vậy phần thực là: 6, phần ảo là: 8
5 – 9i, vậy phần thực là: 5, phần ảo là: -9
-7 – i, vậy phần thực là: -7, phần ảo là: -1
Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức. Trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo. Do đó, một số phức được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo). Nếu số phức đó có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức giúp chúng ta giải những bài toán không thể giải trong trường số thực.
Theo như định nghĩa về số phức ở trên, số phức có dạng a + bi với i2 = -1.
\begin{aligned}
&\textbf{Số phức liên hợp }\text{chính là a – bi và được ký hiệu là } \overline{z}, \text{ với }\overline{z} = a - bi.\\
&\text{Ví dụ: ta có: z = 2 + 3i, vậy số phức liên hợp của z là } \overline{z}= 2 – 3i.
\end{aligned}Số phức liên hợp có một số tính chất như sau:
|z| = |\overline{z}|; ∀z∈\ComplexDo đó, hai điểm biểu diễn z và z sẽ đối xứng với nhau qua trục Oxy trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}Theo công thức này, liên hợp của một tổng sẽ bằng tổng các số phức liên hợp. Công thức trên còn đúng với cả phép trừ, phép nhân và phép chia.
z . \overline{z} = a^2 + b^2Đây là công thức quan trọng và thường được áp dụng nhiều trong các bài toán.
\begin{aligned}
&\text{Với z là số thực, thì ta có trong mọi trường hợp } z = \overline{z}\\
&\text{Với z là số ảo tức là phần thực của nó = 0 thì }z = –\overline{z}
\end{aligned}\text{Cho số phức z = a + bi. Ta gọi }\textbf{số phức liên hợp }\text{của z là }\overline{z} = a - bi.Kết quả: ∀ z ∈ C ta có:
\begin{aligned}
&\bull |z| = |\overline{z}|\\
&\bull \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\\
&\bull \overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}\\
&\bull \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\\
&\bull \text{z là số thực khi }z = \overline{z}\\
&\bull \text{z là số thuần ảo khi }z = - \overline{z}
\end{aligned}Để giúp các em nắm vững hơn kiến thức về số phức liên hợp, Team Marathon Education đã tổng hợp một số bài tập vận dụng và hướng dẫn giải chi tiết sau:
Bài tập 1:
\text{Cho số phức }z = 1 + 3i .\text{ Tìm số phức }\overline{z}.Cách giải:
z = 1 + 3i \Rightarrow \overline{z} = 1 - 3iBài tập 2:
\text{Tìm số phức liên hợp của số phức }z=\frac{1+i}{2-i}.Cách giải:
\begin{aligned}
&\frac{1+i}{2-i}=\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{1+3i}{2^2-i^2}=\frac15+\frac35i\\
&\Rightarrow |\overline{z}|=\frac15-\frac35i
\end{aligned}Bài tập 3:
\text{Tìm số phức z thỏa mãn }z - (2 + 3i)\overline{z} = 1 - 9i .Cách giải:
\begin{aligned}
&\text{Gọi }z = a + bi => \overline{z}=a-bi\\
&z - (2 + 3i)\overline{z} = 1 - 9i\\
&\Leftrightarrow (a+bi)-(2+3i)(a-bi)=1-9i\\
&\Leftrightarrow a + bi -2a+2bi-3ai+3b.i^2=1-9i\\
&\Leftrightarrow a+ bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = 1 - 9i\\
&\Leftrightarrow -a-3b+(b+2b-3a)i=1-9i\\
&\Leftrightarrow \begin{cases} -a-3b=1\\-3a+3b=-9\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \begin{cases} a=2 \\b=-1\end{cases}\\
&\text{Vậy }z = 2 - i
\end{aligned}Marathon Education là nền tảng học livestream online uy tín, chất lượng dành cho học sinh cấp 3. Các thầy cô tại Marathon Education sẽ giúp các em hệ thống, ôn tập và nắm vững kiến thức Toán – Lý – Hóa cấp 3. Qua quá trình học tập, các em có sự bứt phá điểm số và đạt được thành tích tốt trong học tập.
Tại Marathon Education, các em học sinh sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi tại Việt Nam. Đội ngũ giáo viên ưu tú có bằng cấp từ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực giáo dục. Đặc biệt, đội ngũ Cố vấn học tập Marathon Education chuyên nghiệp sẽ theo sát quá trình học tập của các em. Ngoài việc giải đáp các thắc mắc đội ngũ này còn giúp các em cá nhân hóa lộ trình học tập của mình để đạt kết quả như mong đợi.
Các lớp học tại Marathon Education đều có sự tương tác trực tiếp với thầy cô dựa trên nền tảng học livestream trực tiếp, mô phỏng theo lớp học offline. Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học tại Marathon Education luôn đảm bảo về mặt đường truyền chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Khi tham gia học cùng Marathon Education các em sẽ nhận sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa “siêu xịn”. Đây là tài liệu tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn kỹ lưỡng. Sổ tay này sẽ giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Nhằm giúp các em củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi cuối cấp sắp đến cũng như đăng ký vào các trường đại học đạt kết quả cao, quý phụ huynh hãy đăng ký cho các em học livestream online toán học 10 – 11 – 12 tại Marathon Education để hưởng ngay ưu đãi giảm giá học phí lên đến 39%.
Với kiến thức đã chia sẻ trong bài viết, Team Marathon Education hy vọng đã giúp các em nắm vững kiến thức về số phức, số phức liên hợp để giải quyết tốt các bài tập trong kỳ thi sắp đến. Chúc các em thành công!
