Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những nhánh quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Nội dung này thường được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức nâng cao. Cùng Marathon Education tìm hiểu và khám phá những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức Bunhiacopxki qua bài viết dưới đây.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
\begin{aligned}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\
&\text{Dấu "=” xảy ra khi }ac = bd
\end{aligned}Bất đẳng thức Bunhiacopxki đối với 2 bộ số:
Với hai bộ số (a1, a2,…,an) và (b1, b2,…,bn), ta có:
\begin{aligned}
&(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\\
&\text{Dấu “=” xảy ra khi } \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} =... = \frac{a_n}{b_n}\\
\end{aligned}Nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3,…, n) bằng 0 thì đẳng thức tương ứng bằng 0.
Một số hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki mà các em có thể tham khảo như:
Hệ quả 1
\small\text{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C \text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=\frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} \text{đạt được khi }\frac{x_1}{a_1} =... = \frac{x_n}{a_n}Hệ quả 2
Nếu x12 +…+ xn2 = C2 (không đổi) thì:
\begin{aligned}
&\small \bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ đạt được khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\geq0.\\
&\small \bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ và dấu "=" xảy ra khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\leq0.\\
\end{aligned}Các em có thể chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:
Ta có:
\begin{aligned}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\
&\Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\\
&\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\\
&\Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\\
&\Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0\text{ (luôn đúng)}
\end{aligned}Bài tập 1: Cho các số a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq6 Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho phân thức, ta có:
\begin{aligned}
&\footnotesize \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\\
&\footnotesize \Leftrightarrow 1.\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq\sqrt{(1+1+1)\left(\frac{a + b}{a + b + c}+\frac{b + c}{a + b + c}+\frac{c + a}{a + b + c}\right)}\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.\left[\frac{2(a + b+c)}{a + b + c}\right]}\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.2}=\sqrt6 \text{ (điều phải chứng minh)}\\
&\footnotesize\text{Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các giá trị a = b = c}
\end{aligned}\\Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất (max) của biểu thức sau:
P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}Hướng dẫn:
\begin{aligned}
&\footnotesize P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\\
&\footnotesize \text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\\
&\footnotesize \text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:}\\
&\footnotesize (1.\sqrt{x -2} + 1.\sqrt{4 -x})^2 ≤ (1^2 + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\\
&\footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\\
&\footnotesize ⟺ -2 ≤ P ≤ 2\\
&\footnotesize \text{P đạt giá trị lớn nhất khi }P = 2 ⟺ \frac{1}{\sqrt{x -2}} = \frac{1}{\sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\\
&\footnotesize \text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3
\end{aligned}Bài tập 3: Cho các số a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki.
Ta được:
\begin{aligned}
&\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\\
&\text{Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số a = b = c}
\end{aligned}Ngoài việc học tập trên trường thì các em có thể tham gia các khóa học online cho cả 3 môn tự nhiên Toán – Lý – Hóa từ lớp 10 đến lớp 12 tại Marathon Education. Đây là nền tảng học livestream hiện đại, uy tín và chất lượng dành cho các em học sinh trên toàn quốc.
Khi đến với các lớp học tại Marathon, các em sẽ có cơ hội được giảng dạy bởi đội ngũ giảng viên thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi tại Việt Nam. Các Thầy cô đều có bằng Thạc sĩ trở lên với kinh nghiệm hơn 10 năm trong nghề nhà giáo. Bên cạnh đó, các em còn nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn, giúp các em giải đáp mọi thắc mắc và cá nhân hóa lộ trình học tập của từng em.
Tham gia khóa học, các em có cơ hội tương tác trực tiếp với thầy cô nhờ nền tảng livestream trực tiếp. Ngoài ra, chất lượng mỗi tiết học đều được đảm bảo có đường truyền không bị lag, hình ảnh sắc nét và âm thanh to rõ ràng nhờ ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu trên cùng một nền tảng công nghệ.
Đặc biệt, mỗi em học sinh sẽ nhận ngay sổ tay học tập “siêu xịn” cho ba bộ môn Toán – Lý – Hoá của Marathon. Mỗi một nội dung và công thức đều được team Marathon Education biên soạn kỹ lưỡng, chỉnh chu, giúp các em nắm vững kiến thức một cách dễ dàng và nhanh chóng.
Các em hãy nhanh tay đăng ký các khóa học Toán – Lý – Hóa tại Marathon để có thể nhận nhiều phần quà siêu hấp dẫn và chương trình ưu đãi học phí lên đến 39% giảm giá từ 699K chỉ còn 399K.
Kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki thường được áp dụng nhiều trong các bài tập nâng cao. Do đó, các em cần phải nắm vững khái niệm và làm nhiều dạng bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng giải toán của bản thân. Chúc các em luôn đạt điểm cao trong mọi kỳ thi và học tập tốt hơn mỗi ngày!
