Lý thuyết Toán 10 giá trị lượng giác của một cung là một trong những kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Do đó, việc nắm vững những nội dung liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, hệ quả, công thức cơ bản,… và các dạng bài tập cơ bản là vô cùng quan trọng. Các em hãy cùng Team Marathon Education tìm hiểu chi tiết về kiến thức này Toán 10 giá trị lượng giác của một cung qua bài viết dưới đây.
Trên đường tròn lượng giác tâm O, cho điểm M(x0; y0) sao cho số đo cung AM = α thì:
\begin{aligned} &\bullet sinα=\overline{OQ}=y_0\\ &\bullet cosα=\overline{OP}=x_0\\ &\bullet tanα = \frac{sinα}{cosα}\ (cosα ≠ 0)\\ &\bullet cotα = \frac{cosα}{sinα} (sinα ≠ 0) \end{aligned}
Định nghĩa: Các giá trị sinα, cosα, tanα và cotα là các giá trị lượng giác của một cung. Các em có thể gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.
Ví dụ: Tính cos (-240o)
Hướng dẫn:
Để tính được giá trị lượng giác của cung AM có số đo α bất kỳ, các em tiến hành thực hiện theo các bước sau:
\begin{aligned} &\text{Ta có: } -240^\circ = 120^\circ - 360^\circ \\ &\text{Suy ra: }cos(-240^\circ)=cos120^\circ=-\frac{1}{2} \end{aligned}
\begin{aligned} &\small \text{1. Với sinα và cosα luôn xác định với mọi giá trị α ∈ R, ta có:}\\ &\small\ \ \ \bull sin (α+ 2kπ) = sinα\ (⩝k ∈ Z)\\ &\small\ \ \ \bull cos (α+ 2kπ) = cosα (⩝k ∈ Z)\\ &\small2. \ -1 < sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1\\ &\small3. ⩝m ∈ R \text{ và }-1 ≤ m ≤ 1 \text{ đều tồn tại giá trị α và β sao cho }sinα = m\text{ và }cosα = m.\\ &\small \text{4. tanα xác định }⩝α ≠ \frac{π}{2} + kπ\ (k ∈ Z)\\ &\small \text{5. cotα xác định }⩝α ≠ kπ (k ∈ Z) \end{aligned}
Một số giá trị lượng giác của các cung đặc biệt để thể hiện thông qua bảng sau:
Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục hoành, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin (-α) = -sinα\\ &\bull cos (-α) = cosα\\ &\bull tan (-α) = -tanα\\ &\bull cot (-α) = -cotα \end{aligned}
Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin (\pi-α) = sinα\\ &\bull cos (\pi-α) = -cosα\\ &\bull tan (\pi-α) = -tanα\\ &\bull cot (\pi-α) = -cotα \end{aligned}
Các điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cosα\\ &\bull cos \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = sinα\\ &\bull tan \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cotα\\ &\bull cot \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = tanα \end{aligned}
Các điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin (α+\pi) = -sinα\\ &\bull cos(α+\pi) = -cosα\\ &\bull tan(α+\pi)= tanα\\ &\bull cot (α+\pi) = cotα \end{aligned}
Chú ý: Để có thể ghi nhớ các công thức trên một cách dễ dàng, các em có thể học thuộc bí kíp sau “cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi”.
Một số công thức lượng giác cơ bản mà các em có thể tham khảo như:
\begin{aligned} &\bull sin^2α + cos^2α = 1\\ &\bull tanα.cotα = 1\\ &\bull 1 + tan^2α = \frac{1}{cos^2α}\\ &\bull 1 + cot^2α = \frac{1}{sin^2α} \end{aligned}
\begin{aligned} &\small \text{Tanα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác bởi độ dài đại số của vectơ } \overrightarrow{AT} \text{ trên trục t’At. }\\ &\small\text{Trục t’At được gọi là trục tan.} \end{aligned}
\begin{aligned} &\small \text{Cotα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác tâm O bởi độ dài đại số của vectơ }\overrightarrow{BS} \text{ trên trục s’Bs.}\\ &\small\text{Trục s’Bs được gọi là trục cot.}\\ \end{aligned}
Ví dụ 1:
\text{Cho }sinα = \frac{\sqrt3}{2}\ với\ 0 < α < \frac{π}{2}. \text{ Tính cosα}
Hướng dẫn:
\begin{aligned} &\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\ &cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\\ &\text{Vì } 0 < α < \frac{π}{2} \text{ nên }cosα > 0 ⟹ cosα = \frac12 \end{aligned}
Ví dụ 2:
\text{Cho }cosα = \frac{\sqrt{11}}{6} \text{ với } \frac{3π}{2} < α < 2π. \text{ Tính sinα.}
Hướng dẫn:
\begin{aligned} &\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\ &⟹ sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} &⟹ sinα = ± \frac56\\ &\text{Vì }\frac{3π}{2} < α < 2π \text{ nên } sinα < 0 ⟹ sinα = -\frac56 \end{aligned}
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức B sau đây:
B = cos (90o – x).sin (180o – x) – sin (90o – x).cos (180o – x)
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức cung bù nhau và cung phụ nhau, ta có:
B = cos (90o – x).sin (180o – x) – sin (90o – x).cos (180o – x)
= sinx.sinx – cosx.(-cosx)
= sin2x + cos2x
= 1
Ví dụ 4:
\text{Tính }cos \frac{-11π}{4}
Hướng dẫn:
\begin{aligned} &\text{Sử dụng cung đối, ta có: }\\ &cos \frac{-11π}{4} = cos\frac{11π}{4} = cos\left(2π + \frac{3π}{4}\right) = cos \frac{3π}{4} = cos (π - \frac{π}{4}) = - cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt2}{2} \end{aligned}
Giá trị lượng giác của một cung là một trong những dạng toán liên quan đến việc vận dụng nhiều công thức lượng giác với nhau. Muốn nắm vững lý thuyết và giải tốt dạng bài tập này đòi hỏi các em cần dành nhiều thời gian cho việc học thuộc các giá trị lượng giác của cung đặc biệt và công thức lượng giác cơ bản. Do đó, các em có thể học online ngoài giờ để bổ sung kiến thức. Trong số nhiều website hiện nay, Marathon Education là nền tảng học livestream online Toán – Lý – Hóa cấp 3 chất lượng, uy tín được nhiều học sinh khối 10 – 11 – 12 tin tưởng lựa chọn.
Khi đến với các lớp học tại Marathon, các em sẽ được học tập với đội ngũ giảng viên có chuyên môn cao và thuộc TOP 1% những giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Do đó, trong quá trình học tập các em hoàn toàn có thể yên tâm trong việc tiếp cận và nắm bắt tốt nội dung bài học. Bên cạnh đó, các em còn nhận được sự hỗ trợ mọi lúc mọi nơi của đội ngũ Cố vấn học tập chuyên môn cao và tận tâm.
Các lớp học tại Marathon luôn đảm bảo chất lượng về đường truyền ổn định, âm thanh to rõ và hình ảnh sắc nét giúp cho quá trình học tập của các em không bị gián đoạn và hiệu quả hơn. Với hình thức livestream, các lớp học online của Marathon có sự tương tác hiệu quả giữa học sinh và thầy cô như các lớp offline tại trường.
Khi đăng ký học tập Toán, Lý, Hóa với Marathon Education, các em sẽ nhận được những cuốn sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa được biên soạn chỉn chu và chi tiết từ Marathon, giúp các em có thể củng cố lại toàn bộ kiến thức và ôn tập hiệu quả.
Các em hãy đăng ký học online livestream tại Marathon Education ngay hôm nay nhận nhiều phần quà hấp dẫn và khuyến mãi học phí lên đến 39% giảm giá từ 699K chỉ còn 399K.