Tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán học 12. Nắm chắc lý thuyết, phương pháp tính tích phân cơ bản sẽ giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập liên quan và đạt điểm cao trong các kỳ thi. Vì thế, trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em tìm hiểu chi tiết tích phân là gì và những phương pháp tính tích phân cơ bản thường gặp.
Để học tốt tích phân, trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết tích phân là gì.
Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể:
\int^b_a f(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a)
Để giải các bài toán tích phân, các em cần nắm được những tính chất cơ bản sau của tích phân:
Khi giải các bài tập tích phân, các em có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó, 2 phương pháp cơ bản được áp dụng nhiều nhất là đổi biến số và tích phân từng phần.
Cho hàm số f(x) được xác định và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Các em có thể sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Công thức đổi biến số cụ thể:
\int^b_af(u)u'(x)dx=\int^{u(b)}_{u(a)}f(u)duSau đây là các dạng tích phân và cách đổi biến số thường gặp mà các anh chị Marathon đã tổng hợp được. Các em hãy tham khảo và áp dụng để giải bài tập:
Các em nên áp dụng phương pháp tích phân từng phần để giải nhanh chóng và chính xác những bài tập mà hàm số đã cho thuộc dạng:
Công thức tích phân từng phần :
\int^b_au(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-\int^b_au'(x)v(x)dx
Ví dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số:
I=\int^1_0e^x(2e^x+1)^3dx
Bài giải:
Ta có:
\begin{aligned}
I&=\int^1_0e^x(2e^x+1)^3dx\\
&=\frac{1}{2}\int^1_0(2e^x+1)^3d(2e^x+1)\\
&=\left.\frac{1}{2}.\frac{(2e^x+1)^4}{4}\right|^1_0\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{(2e+1)^4}{4}-\frac{81}{4} \right]\\
&=\frac{(2e+1)^4}{8}-\frac{81}{8}
\end{aligned}Ví dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số:
I=\int^4_3\frac{x+1}{x-2}dxBài giải:
Ta có:
\begin{aligned}
I&=\int^4_3\frac{x+1}{x-2}dx\\
&=\int^4_3\left(1+\frac{3}{x-2}\right)dx\\
&=[x+3ln(x-2)|^4_3\\
&=(4+3ln2)-(3+ln1)\\
&=1+3ln2
\end{aligned}Ví dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số:
I=\int^4_0\sqrt{2x+1}dxBài giải:
Ta có:
\begin{aligned}
I&=\int^4_0\sqrt{2x+1}dx\\
&=\frac{1}{2}\int^4_0\sqrt{2x+1}d(2x+1)\\
&=\left.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}\right|^4_0\\
&=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}
\end{aligned}Ví dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số:
I=\int^1_0(3x^2+2x-1)dx
Bài giải:
Ta có:
\begin{aligned}
I&=\int^1_0(3x^2+2x-1)dx\\
&=\int^1_03x^2dx+\int^1_02xdx-\int^1_0dx\\
&=(x^3+x^2-x)|^1_0=1
\end{aligned}Ví dụ: Tính tích phân của hàm số:
I=\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin3x.cosxdxBài giải:
Ta có:
\begin{aligned}
I&=\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin3x.cosxdx\\
&=\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{2}}_0(sin4x+sin2x)dx\\
&=\left.\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{4}cos4x-\frac{1}{2}cos2x\right]\right|^{\frac{\pi}{2}}_0\\
&=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{4}(cos2\pi-cos0)-\frac{1}{2}(cos\pi-cos0)\right]\\
&=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{4}(1-1)-\frac{1}{2}(-1-1)\right]=\frac{1}{2}
\end{aligned}Tích phân là kiến thức rất phức tạp trong chương trình Toán học. Bởi vậy, để học tốt nội dung này và dễ dàng vượt qua các kỳ thi thì các em phải ghi nhớ tốt lý thuyết và áp dụng để giải các dạng bài tập khác nhau. Ngoài học trên lớp, các em cần chủ động tự học, ôn tập tại nhà. Học online cũng là một phương pháp học tập được đánh giá cao hiện nay.
Marathon Education một trong những nền tảng học online livestream Toán – Lý – Hóa lớp 10 – 11 – 12 uy tín, chất lượng mà các em học sinh có thể yên tâm đăng ký. Để đảm bảo chất lượng giáo dục, các lớp học tại Marathon đều do các thầy cô có trình độ Thạc sĩ trở lên, thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc trực tiếp đứng lớp. Bên cạnh kinh nghiệm giảng dạy trên 10 năm, các thầy cô đạt được nhiều thành tích xuất sắc trong hoạt động giáo dục.
Marathon áp dụng hình thức dạy học livestream trực tuyến. Cho nên trong quá trình học, các em có thể tương tác trực tiếp với thầy cô như học offline. Đội ngũ Cố vấn học tập của Marathon cũng sẽ luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học, sẵn sàng hỗ trợ giải đáp mọi thắc mắc. Bên cạnh đó, mỗi em học sinh khi đăng ký học tại đây đều được trang bị sổ tay tổng hợp kiến thức Toán – Lý – Hóa. Đây chính là “bí kíp” để các em có thể ôn tập kiến thức một cách đầy đủ, dễ nhớ.
Đặc biệt, Marathon là nền tảng giáo dục ứng dụng công nghệ hàng đầu nên các lớp học luôn được đảm bảo chất lượng tốt. Đường truyền ổn định, không bị giật/lag, âm thanh và hình ảnh rõ ràng, không gây cản trở đến việc học. Marathon sẽ mang đến cho các em những trải nghiệm học online thú vị nhất.
Marathon Education đang có chương trình ưu đãi học phí lên đến 39%. Vậy nên, các em hãy nhanh tay đăng ký học livestreams trực tuyến Toán – Lý – Hóa lớp 10 – 11 – 12 để nhận ngay ưu đãi.Qua bài viết này, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu thêm định nghĩa tích phân. Bên cạnh đó, các em biết được những phương pháp tính tích phân cũng như những dạng bài tập cơ bản. Hy vọng, những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học và ôn tập cho các kỳ thi quan trọng. Chúc các em học tốt và luôn dành được điểm cao!
