Đạo hàm hàm số mũ được xem là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Giải tích ở THPT. Trong các đề thi sẽ có nhiều dạng bài tập liên quan đến phần kiến thức này. Vì vậy, nhằm giúp các em ôn luyện cũng như ghi nhớ lâu hơn các lý thuyết cơ bản về đạo hàm hàm số mũ, Marathon Education sẽ chia sẻ một số trọng tâm kiến thức và các bài tập áp dụng trong bài viết sau.
Để có thể vận dụng công thức tính toán linh hoạt, đầu tiên, các em phải nắm vững định nghĩa và tính chất hàm số mũ. Dưới đây là định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm số mũ mà các em cần ghi nhớ.
Theo như SGK Toán 12, hàm số mũ được định nghĩa như sau:
Hàm số mũ là một hàm số có dạng y = ax với điều kiện a > 0 và a ≠ 1.
Một số tính chất quen thuộc của hàm số mũ y = ax với điều kiện a > 0 và a ≠ 1:
Để giải các bài toán đạo hàm hàm số mũ, các em cần phải hiểu rõ lý thuyết cơ bản về đạo hàm.
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm x0 có nghĩa là giới hạn (nếu có) giữa tỉ số số gia hàm số Δy = y – y0 với số gia của đối số tại Δx = x – x0 khi số gia của đối số tiến đến 0.
f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ hay \ y'(x_0)=\lim\limits_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}Trong đó, f'(x0) và y'(x0) là ký hiệu của đạo hàm hàm số y=f(x) tại một điểm x0.
Lưu ý rằng, giá trị của đạo hàm hàm số tại một điểm thể hiện chiều biến thiên và độ lớn biến thiên của hàm số.
Để giải được các dạng bài toán đạo hàm hàm số mũ, các em cần thuộc lòng những định lý sau đây:
\begin{aligned}
&\circ (u + v)' = u' + v'\\
&\circ (u - v)' = u' - v'\\
&\circ (uv)' = u'v + uv'\\
&\circ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\ với\ v=v(x)\not=0
\end{aligned}Từ đó, ta được hai hệ quả:
\begin{aligned}
&\circ\text{Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số nhất định thì }(ku)'=ku'.\\
&\circ \left(\frac{1}{v}\right)' = \frac{v'}{v^2}\ với\ v=v(x)\not=0
\end{aligned}>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng
Lý thuyết và công thức đạo hàm hàm số mũ trong chương trình Giải tích lớp 12 sẽ được trình bày cụ thể như sau:
Về tổng quát, lý thuyết của đạo hàm hàm số mũ chỉ gồm một số ý chính quan trọng cần phải nhớ, đó là:
Từ lý thuyết của đạo hàm hàm số mũ, ta sẽ suy ra được một số công thức tính đạo hàm hàm số mũ như sau:
\begin{aligned}
&(a^x)'=a^x.lna ⇒ (a^u)'=u'.a^u.lna\\
&(e^x)'=e^x ⇒ (e^u)'=e^u.u'\\
&(\sqrt[n]u)'=\frac{u'}{n.\sqrt[n]{u^{n-1}}}\\
\end{aligned}Để có thể nhớ tốt các công thức đạo hàm hàm số mũ nêu trên, các em hãy theo dõi một số ví dụ cụ thể dưới đây:
\begin{aligned}
\bull \ \ y&=(x^2+1).2^{2x}\\
y'&=(x^2+1)'.2^{2x}+(x^2+1).(2^{2x})'\\
&=2x.2^{2x}+(x^2+1).(2x)'.2^{2x}.ln2\\
&=2x.2^{2x}+(x^2+1).2.2^{2x}.ln2\\
\bull \ \ y&=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}\\
y'&=\frac{(e^{2x}-e^{-2x})'.x-(e^{2x}-e^{-2x}).x'}{x^2}\\
&=\frac{[(e^{2x})'-(e^{-2x})'].x-(e^{2x}-e^{-2x}).1}{x^2}\\
&=\frac{[2e^{2x}-(-2)e^{-2x}].x-(e^{2x}-e^{-2x})}{x^2}\\
&=\frac{(2e^{2x}+2e^{-2x}).x-(e^{2x}-e^{-2x})}{x^2}\\
\bull \ \ y&=2^{1-2x}\\
y'&=(1-2x)'=-2\\
\bull \ \ y&=e^{2x+x^2}\\
y'&=(2x+x^2)'.e^{2x+x^2}=(2+2x).e^{2x+x^2}
\end{aligned}>>> Xem thêm: Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập Áp Dụng
Có thể thấy, đạo hàm hàm số mũ có khá nhiều công thức cần ghi nhớ. Vì thế, để có thể “công phá” các dạng bài tập liên quan đến phần lý thuyết này, các em nên dành thời gian học cùng bạn bè hoặc học online livestream tại Marathon Education – nền tảng học online Toán – Lý – Hóa THPT uy tín và chất lượng được nhiều học sinh tin tưởng chọn lựa.
Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi những thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Bên cạnh đó, trong suốt quá trình học tập nếu gặp phải khó khăn gì, các em sẽ được hỗ trợ tận tình bởi đội ngũ Cố vấn học tập chuyên môn. Do vậy, các em có thể yên tâm khi lựa chọn học tập tại đây.
Để không làm gián đoạn việc thu thập kiến thức của các em, những yếu tố liên quan đến các lớp học trực tuyến như đường truyền, âm thanh và hình ảnh luôn được Team Marathon đảm bảo rõ nét và chân thật. Không những vậy, các lớp học online của Marathon còn được chú trọng thiết kế tương tự như một lớp học offline bình thường để các em thoải mái tương tác với thầy cô trong suốt buổi học.
Khi đăng ký trở thành thành viên chính thức, các em sẽ được nhận ngay những cuốn sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa được biên soạn rõ ràng, tỉ mỉ bởi Team Marathon. Đây sẽ là “trợ thủ đắc lực”, giúp các em củng cố và ôn luyện kiến thức đã học tốt hơn.
Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream tại Marathon Education ngay hôm nay, trước ngày 15/02/2022 để nhận được khuyến mãi lên đến 39%.
Đạo hàm hàm số mũ là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Đại số lớp 12 và liên quan đến nhiều đề kiểm tra sau này. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết, các em sẽ tích lũy được nhiều thông tin bổ ích. Chúc các em luôn học tập thật tốt!
