Phương trình hay bất phương trình chứa căn là dạng toán phổ biến, thường gặp trong chương trình Toán cấp 3. Team Marathon Education sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn trong căn thức để giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập trong bài viết sau.
>>> Xem thêm: 3 Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Đơn Giản
Bất phương trình chứa căn là một dạng toán khó và phức tạp. Để giải bài tập liên quan đến dạng toán này, các em cần sử dụng một số định nghĩa phương trình và bất phương trình cơ bản sau đây:
\begin{aligned}
&* \sqrt{f(x)} = g(x)
⇔
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) ≥ 0\\
f(x) = g^2(x)\\
\end{cases}
⇔
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
f(x) = g^2(x)\\
\end{cases}\\
&* \sqrt{f(x)} < g(x)
⇔
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) ≥ 0\\
f(x) < g^2(x)\\
\end{cases}\\
&
* \sqrt{f(x)} > g(x) ⇔
\left[
\begin{array}{c}
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) < 0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
f(x) ≥ g^2(x)\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.
\end{aligned}Có 6 dạng bất phương trình chứa căn cơ bản thường gặp gồm:
6 dạng cơ bản này còn được ứng dụng trong một số bài toán bất phương trình khác. Tuy nhiên, với các bài toán bất phương trình chứa dấu căn thức, nếu sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để bỏ căn thì bậc của các biến sẽ rất lớn. Vì thế, phương pháp giải tối ưu nhất là đánh giá 2 vế. Để sử dụng thành thạo phương pháp này, các em không chỉ phải học tốt bất đẳng thức mà cần phải rèn luyện khả năng phản xạ và tư duy logic của mình.
Khử căn bằng định nghĩa cũng là phương pháp thường được sử dụng nhất để giải bất phương trình căn thức.
Tùy vào trường hợp, các em có thể áp dụng phương pháp này để giải cả 6 dạng bất phương trình đã nêu trên.
\small
\sqrt{A} ≥ \sqrt{B}
⇔
\begin{cases}
A ≥ 0 \space (B ≥ 0)\\
A = B\\
\end{cases}\small
\sqrt{A} = B
⇔
\begin{cases}
B ≥ 0\\
A = B^2\\
\end{cases}\small
\sqrt{A} < \sqrt{B}
⇔
\begin{cases}
A ≥ 0\\
A < B\\
\end{cases}\small
\sqrt{A} < B
⇔
\begin{cases}
A ≥ 0\\
B > 0\\
A < B^2\\
\end{cases}\small
\sqrt{A} > B
⇔
\begin{cases}
B < 0\\
A ≥ 0\\
\end{cases}
\space
\vee
\space
\begin{cases}
B ≥ 0\\
A > B^2\\
\end{cases}Với điều kiện A và B không âm để bất phương trình xác định, từ đó các em thực hiện bình phương 2 vế.
Ví dụ minh họa:
Giải bất phương trình sau:
\small
\sqrt{x+5} ≥ \sqrt{3-4x}
\\
⇔
\begin{cases}
x+5 ≥ 0\\
3-4x ≥ 0\\
x+5 ≥ 3-4x\\
\end{cases}
\\
⇔
\begin{cases}
x∈[-∞;\frac{3}{4}]\\
x∈[\frac{-2}{5};+∞]\\
\end{cases}
\\
⇔
x∈[\frac{-2}{5};\frac{3}{4}]Các em có thể áp dụng phương pháp biến đổi tương đương bằng cách bình phương 2 vế của bất phương trình.
Dạng 1:
\small
\sqrt{f(x)} < g(x)
⇔
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
0 ≤ f(x) < g^2(x)\\
\end{cases}Dạng 2:
\sqrt{f(x)} > g(x) ⇔
\left[
\begin{array}{c}
\begin{cases}
f(x) ≥ 0\\
g(x) < 0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
g(x) ≥ 0\\
f(x) ≥ g^2(x)\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.Khi giải toán dạng này, các em cần thực hiện các bước như sau:
Ví dụ:
Giải bất phương trình:
\small
\sqrt{2(x^2-1)} ≤ x+1Điều kiện xác định:
\small x^2-1≥0 ⇔ x ∈ ℝ \backslash (-1;1)
Bất phương trình trên tương đương với:
\small
\begin{cases}
x+1≥0\\
2(x^2-1)< (x+1)^2\\
\end{cases}
⇔
\begin{cases}
x≥-1\\
x∈(-1;3)\\
\end{cases} Kết hợp với điều kiện trên, các em sẽ tìm được tập nghiệm: x ∈ (-1;3)
Để đơn giản hóa bất phương trình căn thức, các em có thể tiến hành đặt ẩn phụ để chuyển về bất phương trình đại số không chứa căn. Ẩn phụ ở đây được đặt cho biểu thức chứa căn.
Ví dụ minh họa:
Giải bất phương trình:
\small
(x-1)\sqrt{2x-1}≤3(x-1)Điều kiện xác định:
\small
2x-1≥0⇔x≥\frac{1}{2}Đặt:
\small
t=\sqrt{2x-1}, \space t≥0⟹x=\frac{t^2+1}{2}Bất phương trình sẽ trở thành:
\begin{aligned}
&\small
\frac{t^2-1}{2}.t≤3(\frac{t^2+1}{2}-1)\\
&⇔t^3-3t^2-t+3≤0
\\
&⇔(t-3)(t-1)(t+1)≤0\\
&⟹t∈[1,3]⟹1≤\sqrt{2x-1}≤3
\\
&⇔1 ≤ x ≤ 5
\end{aligned}Vậy, phương trình sẽ có nghiệm là: 1 ≤ x ≤ 5
Marathon Education là nền tảng lớp học livestream trực tuyến uy tín, chất lượng dành cho học sinh cấp 3 mà các em có thể tin tưởng và lựa chọn.
Tại Marathon Education, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô giáo thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Với trình độ Thạc sĩ trở lên và hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy tại các trường hàng đầu, các thầy cô sẽ có những phương pháp giảng dạy hay để tạo hứng thú học tập cũng như giúp các em tiếp thu bài nhanh nhất.
Đặc biệt, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên như khi học offline nhờ phương thức học livestream. Nhờ đó, mỗi giờ học của các em luôn có kết quả tốt nhất, không gây nhàm chán. Hơn nữa, các em sẽ được nhận sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa được biên soạn kỹ lưỡng. Đội ngũ cố vấn học tập cũng sẽ đồng hành và hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
Ngoài ra, nền tảng học Marathon còn đảm bảo chất lượng các lớp học nhờ đường truyền ổn định, hình ảnh và âm thanh chất lượng cao. Trong quá trình học, các em yên tâm sẽ không có hiện tượng giật/lag làm cản trở việc tiếp thu bài giảng.
Marathon Education đang có chương trình ưu đãi học phí lên đến 39% từ nay cho đến 15/02/2022. Hãy đăng ký học online livestream Toán – Lý – Hóa 10 – 11 – 12 ngay hôm nay!
Qua bài viết này, Team Marathon đã chia sẻ cho các em học sinh những phương pháp giải bất phương trình chứa căn chi tiết. Để giải thành thạo các dạng toán, các em cần ôn tập kiến thức và làm bài tập thường xuyên. Chúc các em học tốt và đạt được điểm cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới!
