Bất đẳng thức có thể được coi là một kiến thức nền rất quan trọng, có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập toán không chỉ ở lớp 10 mà cả chương trình toán cấp trung học phổ thông. Bài viết dưới đây từ Marathon Education đã tổng hợp và chia sẻ đến các em một số thông tin về tính khái niệm cũng như tính chất của bất đẳng thức.
Cụm từ bất đẳng thức được định nghĩa là một mệnh đề xác định ở một trong các dạng sau đây: A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B. Trong đó, A và B là những biểu thức có chứa các số và phép toán.
Biểu thức A sẽ được gọi là vế trái của bất đẳng thức, và ngược lại, biểu thức B sẽ là vế phải của bất đẳng thức.
Từ định nghĩa, ta sẽ có một số hệ quả như sau:
Dưới đây là một số các tính chất thường gặp của bất đẳng thức:
Đầu tiên, bất đẳng thức có tính chất bắc cầu. Cụ thể, nếu ta có cùng lúc 2 biểu thức A < B và B < C thì các em có thể suy ra được A < C.
Tính chất cộng 2 vế của bất đẳng thức với 1 số khá đơn giản. Các em chỉ cần nhớ như sau:
A < B ⇔ A + C < B + C.
Nếu dữ kiện cho 2 bất đẳng thức cùng chiều A < C và B < D, các em sẽ kết luận được A + C < B + D.
Nếu đề bài cho A < B và C > 0 thì ta sẽ được AC < BC. Trong trường hợp A < B và C < 0, thì ta thu được AC > BC.
Nếu dữ kiện cung cấp 0 < A < B và 0 < C < D thì tính chất nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều ta sẽ thu được kết quả AC < BD.
Khi A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:
A < B ⇔ A^n< B^n
Khi A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:
A < B ⇔ \sqrt[n]{A} < \sqrt[n]{B}Bất đẳng thức Côsi còn được gọi với cái tên khác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Cụ thể:
\begin{aligned}
&\footnotesize\bullet\text{Ta đặt } \frac{a+b}{2} \ \text{là trung bình cộng của 2 số a, b. Theo đó, các em sẽ có tổng quát}\\
&\footnotesize\text{trung bình cộng của n số } a_1, a_2,...a_n \ \text{sẽ là } \frac{a_1 + a_2 +...+ a_n}{n}.\\
&\footnotesize\bullet\text{Trung bình nhân của 2 số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 sẽ là } \sqrt{ab}. \text{ Vậy, trung bình nhân}\\
&\footnotesize\text{của n số không âm } a_1 ≥0, a_2≥0,..., a_n≥0 \text{ sẽ là } \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}.
\end{aligned}Định lý: Bất đẳng thức sau đây sẽ được gọi bất đẳng thức Côsi:
\sqrt{ab}≤ \frac{a+b}{2}\ \ \ (∀ a, b ≥ 0)Dấu “=” chỉ xảy ra khi giá trị a = b.
Theo đó, ta cũng có:
\sqrt[3]{abc}≤ \frac{a+b+c}{3}\ \ \ (∀ a, b ≥ 0)\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}≤ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ \ \ (∀ a_1,a_2,...a_n ≥ 0)Từ công thức của bất đẳng thức Côsi, ta sẽ thu được một số hệ quả như sau:
Một số bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dưới đây có thể được áp dụng để giải các dạng toán bất đẳng thức nâng cao:
\scriptsize{|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|, ∀ a, b ∈ R. \ Dấu “=” chỉ\ xảy\ ra\ khi\ ab ≥ 0} |x| ≤ a \Leftrightarrow -a ≤ x ≤ a\ \ \ (∀a > 0)
\small{|x|\geq a\Leftrightarrow |x|\geq a \ hoặc\ |x| \leq -a\ \ \ (∀ a > 0)}Các dạng toán bất đẳng thức đòi hỏi các em học sinh phải vận dụng thật tốt công thức cũng như những quy tắc chung. Các em cũng có thể dành thời gian ôn tập cùng bạn bè hoặc học online livestream qua nền tảng Marathon Education để củng cố kiến thức của mình.
Khi tham gia học tập cùng Marathon Education, các em sẽ có cơ hội được giảng dạy bởi các giáo viên có chuyên môn cao và nhiệt huyết với nghề, thuộc TOP 1% những giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Bên cạnh đó, nếu gặp vướng mắc trong quá trình học, các em sẽ được hỗ trợ tức thời và cá nhân hóa lộ trình học bởi đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn.
Marathon Education sử dụng công nghệ học livestream hiện đại, mô phỏng lớp học offline nên các em có thể dễ dàng tương tác trực tiếp với giáo viên. Đồng thời, đường truyền, âm thanh và hình ảnh luôn được đảm bảo không bị gián đoạn, rõ ràng và sắc nét.
Ngoài môn toán, Marathon Education cũng cung cấp các lớp học về lý và hóa 10, 11, 12. Chỉ cần đăng ký những khóa học này, các em sẽ được nhận ngay sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa được biên soạn bởi Marathon, giúp tổng hợp và hệ thống lại các nội dung và công thức đã học
Vì thế, nếu các em có nhu cầu học tại đây, hãy nhanh tay đăng ký lớp online livestream phù hợp từ hôm nay, trước ngày 15/02/2022 để có cơ hội nhận được những khuyến mãi hấp dẫn.
Bất đẳng thức là phần kiến thức cần nắm thật vững nếu các em muốn “xử đẹp” môn toán học đại số. Thông qua bài viết, hy vọng rằng các em sẽ thu thập được thêm nhiều thông tin hữu ích xoay quanh bất đẳng thức. Chúc các em luôn có những buổi học thật thú vị và năng suất nhé!
