Các em thân mến, các kí hiệu trong toán học có rất nhiều. Việc ghi nhớ các kí hiệu này sẽ giúp các em hiểu rõ ý nghĩa và hoàn thành bài tập toán nhanh chóng. Đặc biệt, việc sử dụng các kí hiệu khi tóm tắt, hệ thống hóa công thức sẽ giúp việc ghi nhớ dễ dàng hơn. Vì vậy, Marathon Education đã thực hiện biên soạn “bảng tổng hợp các kí hiệu trong toán học” gửi đến các em trong bài viết sau.
>>> Xem thêm:
Bộ môn Toán phụ thuộc nhiều vào các con số và ký hiệu. Các kí hiệu trong toán học được sử dụng để thực hiện các phép toán. Mỗi kí hiệu toán học vừa đại diện cho một đại lượng, vừa biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Ví dụ:
Team Marathon Education đã tổng hợp các các kí hiệu trong toán học phổ biến như bên dưới. Nội dung này được phân loại rõ ràng để các em tiện theo dõi và sử dụng trong quá trình học tập môn Toán.
Dưới đây là bảng thông tin về những kí hiệu toán cơ bản thường được sử dụng mà Team Marathon tổng hợp được.
| Biểu tượng | Tên ký hiệu | Ý nghĩa | Ví dụ |
| = | dấu bằng | bằng nhau | 5 = 2 + 35 bằng 2 + 3 |
| ≠ | dấu không bằng | không bằng nhau, khác | 5 ≠ 45 không bằng 4 |
| ≈ | dấu gần bằng | xấp xỉ | sin (0,01) ≈ 0,01,x ≈ y nghĩa là x xấp xỉ bằng y |
| > | dấu lớn hơn | lớn hơn | 5 > 45 lớn hơn 4 |
| < | dấu bé hơn | ít hơn | 4 < 54 nhỏ hơn 5 |
| ≥ | dấu lớn hơn hoặc bằng | lớn hơn hoặc bằng | 5 ≥ 4,x ≥ y có nghĩa là x lớn hơn hoặc bằng y |
| ≤ | dấu bé hơn hoặc bằng | ít hơn hoặc bằng | 4 ≤ 5,x ≤ y nghĩa là x nhỏ hơn hoặc bằng y |
| () | dấu ngoặc đơn | tính biểu thức bên trong đầu tiên | 2 × (3 + 5) = 16 |
| [] | dấu ngoặc vuông | tính biểu thức bên trong đầu tiên | [(1 + 2) × (1 + 5)] = 18 |
| + | dấu cộng | thêm vào | 1 + 1 = 2 |
| – | dấu trừ | phép trừ | 2 – 1 = 1 |
| ± | cộng – trừ | cả phép toán cộng và trừ | 3 ± 5 = 8 hoặc -2 |
| ± | trừ – cộng | cả phép toán trừ và cộng | 3 ∓ 5 = -2 hoặc 8 |
| * | dấu hoa thị | phép nhân | 2 * 3 = 6 |
| × | dấu nhân | phép nhân | 2 × 3 = 6 |
| ⋅ | dấu chấm nhân | phép nhân | 2 ⋅ 3 = 6 |
| ÷ | dấu phân chia | Phép chia | 6 ÷ 2 = 3 |
| / | dấu gạch chéo | phép chia | 6/2 = 3 |
| – | dấu gạch ngang | chia/phân số | 62 = 3 |
| mod | modulo | tìm số dư của phép chia | 7 mod 2 = 1 |
| . | dấu chấm thập phân | phân cách thập phân | 2.56 = 2 + 56/100 |
| a b | dấu lũy thừa | số mũ | 23 = 8 |
| a ^ b | dấu mũ | số mũ | 2^3 = 8 |
| √ a | dấu căn bậc hai | √ a ⋅ √ a = a | √ 9 = ± 3 |
| 3 √ a | dấu căn bậc ba | 3 √ a ⋅ 3 √ a ⋅ 3 √ a = a | 3 √ 8 = 2 |
| 4 √ a | dấu căn bậc bốn | 4 √ a ⋅ 4 √ a ⋅ 4 √ a ⋅ 4 √ a = a | 4 √ 16 = ± 2 |
| n √ a | dấu căn bậc n | với n = 3, n √ 8 = 2 | |
| % | dấu phần trăm | 1% = 1/100 | 10% × 30 = 3 |
| ‰ | dấu phần nghìn | 1 ‰ = 1/1000 = 0,1% | 10 ‰ × 30 = 0,3 |
| ppm | dấu một phần triệu | 1ppm = 1/1000000 | 10ppm × 30 = 0,0003 |
| ppb | dấu một phần tỷ | 1ppb = 1/1000000000 | 10ppb × 30 = 3 × 10 -7 |
| ppt | dấu một phần nghìn tỷ | 1ppt = 10 -12 | 10ppt × 30 = 3 × 10 -10 |
Tiếp theo, Marathon sẽ chia sẻ cho các em những thông tin về những kí hiệu đại số phổ biến.
| Biểu tượng | Tên ký hiệu | Ý nghĩa | Ví dụ |
| x | biến x | giá trị không xác định | khi 2x = 4 thì x = 2 |
| ≡ | dấu tương đương | giống hệt | |
| ≜ | dấu bằng nhau theo định nghĩa | bằng nhau theo định nghĩa | |
| : = | bằng nhau theo định nghĩa | bằng nhau theo định nghĩa | |
| ~ | dấu gần bằng | xấp xỉ | 11 ~ 10 |
| ≈ | dấu gần bằng | xấp xỉ | sin (0,01) ≈ 0,01 |
| ∝ | tỷ lệ với | tỷ lệ với | y ∝ x khi y = kx, k hằng số |
| ∞ | dấu vô cực | biểu tượng vô cực | |
| ≪ | ít hơn rất nhiều | ít hơn rất nhiều | 1 ≪ 1000000 |
| ≫ | lớn hơn rất nhiều | lớn hơn rất nhiều | 1000000 ≫ 1 |
| () | dấu ngoặc đơn | tính toán biểu thức bên trong đầu tiên | 2 * (3 + 5) = 16 |
| [] | dấu ngoặc vuông | tính toán biểu thức bên trong đầu tiên | [(1 + 2) * (1 + 5)] = 18 |
| {} | dấu ngoặc nhọn | thiết lập | |
| ⌊ x ⌋ | kí hiệu làm tròn | làm tròn số thành số nguyên nhỏ hơn | ⌊4,3⌋ = 4 |
| ⌈ x ⌉ | kí hiệu làm tròn | làm tròn số thành số nguyên lớn hơn | ⌈4,3⌉ = 5 |
| x ! | dấu chấm than | giai thừa | 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 |
| | x | | dấu gạch thẳng đứng | giá trị tuyệt đối | | -5 | = 5 |
| f(x) | hàm của x | phản ánh các giá trị của x và f(x) | f(x) = 3x +5 |
| (f∘g) | hàm hợp | ( f∘g ) x ) = f(g(( x )) | f(x) = 3x , g( x ) = x – 1 ⇒ (f∘g)(x) = 3x(x -1) |
| (a, b) | khoảng mở | (a, b) = {x| a < x < b} | x ∈ (2,6) |
| [ a , b ] | khoảng đóng | [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} | x ∈ [2,6] |
| ∆ | kí hiệu Delta | khoảng thay đổi, khoảng khác biệt | ∆ t = t 1 – t 0 |
| ∆ | kí hiệu biệt thức | Δ = b 2 – 4 ac | |
| ∑ | kí hiệu sigma | tổng – tổng của tất cả các giá trị của dãy số | ∑ x i = x 1 + x 2 + … + x n |
| ∑∑ | kí hiệu sigma | tổng kép | |
| ∏ | kí hiệu Pi viết hoa | tích – tích của tất cả các giá trị của dãy số | ∏ x i = x 1 ∙ x 2 ∙ … ∙ x n |
| e | e hằng số/ số Euler | e = 2,718281828… | e = lim (1 + 1/x ) x, x → ∞ |
| γ | hằng số Euler – Mascheroni | γ = 0,5772156649 … | |
| φ | hằng số tỷ lệ vàng | tỷ lệ vàng | |
| π | hằng số pi | π = 3,141592654 … là tỷ số giữa chu vi và đường kính của hình tròn | c = π,d = 2.π.r |
Cùng với đại số, Team Marathon Education sẽ giới thiệu đến các em những kí hiệu hình học thường được sử dụng.
| Biểu tượng | Tên ký hiệu | Ý nghĩa | Ví dụ |
| ∠ | kí hiệu góc | hình thành bởi hai tia | ∠ABC = 30 ° |
| ∡ | kí hiệu góc |  ABC = 30 ° | |
 | kí hiệu góc hình cầu |  AOB = 30 ° | |
| ∟ | kí hiệu góc vuông | = 90 ° | α = 90 ° |
| ° | độ | 1 vòng = 360 ° | α = 60 ° |
| deg | độ | 1 vòng = 360deg | α = 60deg |
| ′ | dấu ngoặc đơn | phút, 1° = 60′ | α = 60°59 ′ |
| ″ | dấu ngoặc kép | giây, 1′ = 60″ | α = 60°59′59″ |
 | hàng | dòng vô hạn | |
| AB | đoạn thẳng | đoạn thẳng từ điểm A đến điểm B | |
 | tia | tia bắt đầu từ điểm A | |
 | vòng cung | cung từ điểm A đến điểm B |  = 60 ° |
| ⊥ | kí hiệu vuông góc | đường vuông góc (góc 90 °) | AC ⊥ BC |
| ∥ | kí hiệu song song | những đường thẳng song song | AB ∥ CD |
| ≅ | kí hiệu tương đẳng | hai hình có cùng hình dạng và kích thước | ∆ABC≅ ∆XYZ |
| ~ | kí hiệu giống nhau | hình dạng giống nhau, không cùng kích thước | ∆ABC ~ ∆XYZ |
| Δ | kí hiệu tam giác | Hình tam giác | ΔABC≅ ΔBCD |
| |x – y| | khoảng cách | khoảng cách giữa các điểm x và y | |x – y| = 5 |
| π | hằng số pi | π = 3,141592654 … là tỷ số giữa chu vi và đường kính của hình tròn | c = π⋅d = 2⋅π⋅r |
| rad | radian | đơn vị góc radian | 360° = 2π rad |
| c | radian | đơn vị góc radian | 360° = 2πc |
| grad | gradian | đơn vị góc gradian | 360° = 400 grad |
| g | gradian | đơn vị góc gradian | 360° = 400g |
Xác suất và thống kê không chỉ phổ biến trong chương trình phổ thông mà còn ứng dụng khá nhiều trong cuộc sống. Do đó, các em cũng nên biết thêm kiến thức về những kí hiệu xác suất và thống kê thường được sử dụng bên dưới.
| Biểu tượng | Tên ký hiệu | Ý nghĩa | Ví dụ |
| P (A) | hàm xác suất | xác suất của biến cố A | P (A) = 0,5 |
| P (A ⋂ B) | xác suất các sự kiện giao nhau | xác suất của biến cố A và B | P (A ⋂ B) = 0,5 |
| P (A ⋃ B) | xác suất của sự kiện hợp nhau | xác suất của biến cố A hoặc B | P (A ⋃ B) = 0,5 |
| P (A | B) | hàm xác suất có điều kiện | xác suất của biến cố A, biết rằng biến cố B đã xảy ra | P (A | B) = 0,3 |
| f (x) | hàm mật độ xác suất (pdf) | P (a ≤ x ≤ b) = ∫f(x)dx | |
| F (x) | hàm phân phối tích lũy (cdf) | F (x) = P (X ≤ x) | |
| μ | ký hiệu bình quân | bình quân của quần thể | μ = 10 |
| E (X) | giá trị kỳ vọng | giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X | E (X) = 10 |
| E ( X | Y ) | giá trị kỳ vọng có điều kiện | giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, biết rằng biến Y đã xảy ra | E (X | Y = 2) = 5 |
| var (X) | phương sai | phương sai của biến ngẫu nhiên X | var (X) = 4 |
| σ 2 | phương sai | phương sai của các giá trị trong quần thể | σ 2 = 4 |
| std(X) | độ lệch chuẩn | độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X | std (X) = 2 |
| σX | độ lệch chuẩn | giá trị độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X | σX = 2 |
 | số trung vị | giá trị ở giữa của biến ngẫu nhiên x |  |
| cov(X, Y) | hiệp phương sai | hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên X và Y | cov(X, Y) = 4 |
| corr (X, Y) | hệ số tương quan | hệ số tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y | corr (X, Y) = 0,6 |
| ρX, Y | ký hiệu tương quan | ký hiệu tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y | ρX, Y = 0,6 |
| ∑ | kí hiệu tổng | tổng – tổng của tất cả các giá trị trong phạm vi của chuỗi |  |
| ∑∑ | tổng kết kép | tổng kết kép |  |
| Mo | số yếu vị | giá trị xuất hiện thường xuyên nhất trong dãy số | |
| MR | khoảng giữa | MR = (xtối đa + xtối thiểu)/2 | |
| Md | số trung vị mẫu | một nửa quần thể thấp hơn giá trị này | |
| Q1 | hạ vị/ phần tư đầu tiên | 25% quần thể thấp hơn giá trị này | |
| Q 2 | trung vị / phần tư thứ hai | 50% quần thể thấp hơn giá trị này = số trung vị của các mẫu | |
| Q 3 | thượng vị/ phần tư thứ ba | 75% quần thể thấp hơn giá trị này | |
| x | trung bình mẫu | trung bình/ trung bình cộng | x = (2 + 5 + 9)/3 = 5.333 |
| s2 | phương sai mẫu | công cụ ước tính phương sai của các mẫu trong quần thể | s2 = 4 |
| s | độ lệch chuẩn mẫu | ước tính độ lệch chuẩn của các mẫu trong quần thể | s = 2 |
| zx | điểm chuẩn | zx = (x – x)/ sx | |
| X ~ | phân phối của X | phân phối của biến ngẫu nhiên X | X ~ N (0,3) |
| N (μ, σ 2) | phân phối chuẩn | phân phối gaussian | X ~ N (0,3) |
| Ư (a, b) | phân bố đồng đều | xác suất bằng nhau trong phạm vi a, b | X ~ U (0,3) |
| exp (λ) | phân phối theo cấp số nhân | f (x) = λe– λx, x ≥0 | |
| gamma (c, λ) | phân phối gamma | f (x) = λ cx c-1 e – λx / Γ (c), x ≥0 | |
| χ2 (k) | phân phối chi bình phương | f (x) = xk / 2-1e– x/2 / (2 k/2 Γ (k/2)) | |
| F (k1, k2) | Phân phối F | ||
| Bin (n, p ) | phân phối nhị thức | f(k) = nCkpk(1-p)nk | |
| Poisson (λ) | Phân phối Poisson | f(k) = λke– λ/k ! | |
| Geom (p) | phân bố hình học | f (k) = p(1-p)k | |
| HG (N, K, n) | phân bố siêu hình học | ||
| Bern (p) | Phân phối Bernoulli |
Đây là những ký hiệu lý thuyết liên quan đến tập hợp phổ biến mà các em thường gặp.
| Biểu tượng | Tên ký hiệu | Ý nghĩa | Ví dụ |
| {} | tập hợp | một tập hợp các yếu tố | A = {3,7,9,14},B = {9,14,28} |
| A ∩ B | giao | các đối tượng thuộc tập A và tập hợp B | A ∩ B = {9,14} |
| A ∪ B | liên hợp | các đối tượng thuộc tập hợp A hoặc tập hợp B | A ∪ B = {3,7,9,14,28} |
| A ⊆ B | tập hợp con | A là một tập con của B. Tập hợp A nằm trong tập hợp B. | {9,14,28} ⊆ {9,14,28} |
| A ⊂ B | tập hợp con chính xác/ tập hợp con nghiêm ngặt | A là một tập con của B, nhưng A không bằng B. | {9,14} ⊂ {9,14,28} |
| A ⊄ B | không phải tập hợp con | tập A không phải là tập con của tập B | {9,66} ⊄ {9,14,28} |
| A ⊇ B | tập chứa | A là tập chứa của B. Tập A bao gồm tập B | {9,14,28} ⊇ {9,14,28} |
| A ⊃ B | tập chứa chính xác / tập chứa nghiêm ngặt | A là tập chứa của B, nhưng B không bằng A. | {9,14,28} ⊃ {9,14} |
| A ⊅ B | không phải tập chứa | tập hợp A không phải là tập chứa của tập hợp B | {9,14,28} ⊅ {9,66} |
| 2A | tập lũy thừa | tất cả các tập con của A | |
 | tập lũy thừa | tất cả các tập con của A | |
| A = B | bằng nhau | cả hai tập đều có các phần tử giống nhau | A = {3,9,14},B = {3,9,14},A = B |
| Ac | phần bù | tất cả các đối tượng không thuộc tập A | |
| A \ B | phần bù tương đối | đối tượng thuộc về A và không thuộc về B | A = {3,9,14},B = {1,2,3},A \ B = {9,14} |
| A – B | phần bù tương đối | đối tượng thuộc về A và không thuộc về B | A = {3,9,14},B = {1,2,3},A – B = {9,14} |
| A ∆ B | sự khác biệt đối xứng | các đối tượng thuộc tập hợp A hoặc tập hợp B nhưng không thuộc giao điểm của chúng | A = {3,9,14},B = {1,2,3},A ∆ B = {1,2,9,14} |
| A ⊖ B | sự khác biệt đối xứng | các đối tượng thuộc tập hợp A hoặc tập hợp B nhưng không thuộc giao điểm của chúng | A = {3,9,14},B = {1,2,3},A ⊖ B = {1,2,9,14} |
| a ∈ A | thuộc | phần tử của tập hợp | A = {3,9,14}, 3 ∈ A |
| x ∉ A | không thuộc | không phải là phần tử của tập hợp | A = {3,9,14}, 1 ∉ A |
| (a, b) | cặp được sắp xếp theo thứ tự | tập hợp của 2 yếu tố | |
| A × B | Tích Descartes | tập hợp tất cả các cặp được sắp xếp từ A và B | A×B = {(a,b) | a∈A, b∈B} |
| |A| | lực lượng | số phần tử của tập A | A = {3,9,14}, |A| = 3 |
| #A | lực lượng | số phần tử của tập A | A = {3,9,14}, # A = 3 |
| | | thanh dọc | như vậy mà | A = {x|3 <x <14} |
 | aleph-null | tập hợp số tự nhiên vô hạn | |
 | aleph-one | tập hợp số tự nhiên có thể đếm được | |
| Ø | tập hợp rỗng | Ø = {} | C = {Ø} |
 | tập hợp phổ quát | tập hợp tất cả các giá trị có thể có được | |
 0 | tập hợp số tự nhiên / số nguyên (với số 0) |  0 = {0,1,2,3,4, …} | 0 ∈  0 |
 1 | tập hợp số tự nhiên / số nguyên (không có số 0) |  1 = {1,2,3,4,5, …} | 6 ∈  1 |
 | tập hợp số nguyên |  = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} | -6 ∈ |
 | tập hợp số hữu tỉ |  = { x | x = a / b , a , b ∈  } | 2/6 ∈ |
 | tập hợp số thực |  = { x | -∞ < x <∞} | 6.343434∈ |
 | tập hợp số phức |  = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} | 6 + 2 i ∈ |
Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa dành cho học sinh cấp 3 trên toàn quốc. Các em sẽ có cơ hội tiếp cận và học tập với đội ngũ giáo viên TOP 1% toàn quốc, giúp các em lấy lại kiến thức nhanh chóng và học tập hiệu quả hơn.
Đồng thời, đội ngũ Academic Mentor luôn theo sát, hỗ trợ giải đáp kịp thời mọi thắc mắc liên quan đến bài vở và giúp các em cá nhân hóa lộ trình học tập tốt hơn.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, các lớp học livestream của Marathon đều đảm bảo đường truyền ổn định, hình ảnh và âm thanh rõ nét, chất lượng cao.
Marathon còn biên soạn kỹ lưỡng bộ sổ tay Toán – Lý – Hóa “xịn sò” giúp các em hệ thống hóa kiến thức hiệu quả. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hoá lớp 10 – 11 – 12 ngay tại Marathon Education trước ngày 15/02/2022 ngay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%!
Marathon Education hy vọng “bảng tổng hợp các kí hiệu trong toán học phổ biến” sẽ giúp ích được cho các em trong việc giải bài tập và hệ thống hóa kiến thức tốt hơn. Các em hãy theo dõi Marathon Education để cập nhật thêm nhiều kiến thức Toán, Lý, Hóa hữu ích khác. Chúc các em học tập thật tốt!
