Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng của toán học giải tích 12 và thường xuất hiện nhiều trong các kì thi đại học. Vậy nguyên hàm là gì và gồm những tính chất nào? Team Marathon Education sẽ giúp các em giải đáp và tìm hiểu rõ hơn về bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao qua bài viết dưới đây.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).
Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
3 định lý của nguyên hàm là:
3 tính chất cơ bản của nguyên hàm được thể hiện như sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) có đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}Mỗi dạng nguyên hàm đều có những công thức riêng. Những công thức này đã được tổng hợp thành các bảng dưới đây để các em dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng chính xác.
Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.
Phương pháp đổi biến loại 1:
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.
Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)Cách giải:
Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}Lúc này thì các em sẽ có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.
>>> Xem thêm: Nguyên Hàm Từng Phần – Công Thức Và Phương Pháp Giải
Bên cạnh những giờ học ít ỏi tại lớp, các em hãy tham gia học cùng với Marathon Education. Đây là nền tảng lớp học livestream dành cho học sinh cấp 3 trên toàn quốc, Marathon sẽ giúp các em cải thiện chất lượng học tập và bứt phá điểm số ngoạn mục.
Marathon cung cấp chương trình giảng dạy cho các môn chính, bao gồm Toán – Lý – Hóa. Marathon Education sẽ mang lại những trải nghiệm học online tốt nhất và tối ưu kết quả học tập cho các em cùng với:
Marathon Education đang có chương trình ưu đãi 39% học phí dành cho tất cả các học viên đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa lớp 10 – 11 – 12 từ nay cho đến ngày 15/02/2022. Các em hãy nhanh tay đăng ký ngay hôm nay để hưởng nhiều ưu đãi hấp dẫn nhé!
Trên đây, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu rõ hơn về nguyên hàm cũng như các công thức nguyên hàm cần nắm vững. Hy vọng bài viết có thể cung cấp những kiến thức mới lạ và bổ ích cho các em. Chúc các em có những buổi học thật hiệu quả!
