Trang chủ » Cấp 3 - THPT » Toán 11 » Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập Áp Dụng

Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập Áp Dụng

Lê Kiên - 18/02/2022

Đạo hàm trị tuyệt đối trong chương trình Toán học lớp 11 có khó không? Đây là câu hỏi của rất nhiều em học sinh khi bắt đầu học nội dung này. Tuy nhiên, nếu các em nắm vững hết lý thuyết về khái niệm, công thức tính và bài tập áp dụng về đạo hàm trị tuyệt đối thì dạng toán này không còn là vấn đề “nan giải”. Các em hãy cùng Team Marathon Education tìm hiểu chi tiết về nội dung này qua bài viết dưới đây.

Mục lục hiện

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm trị tuyệt đối là gì?
Đạo hàm là gì? (Nguồn: Internet)

Giả sử giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số tiến dần về 0, các em gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) ký hiệu là y’(x0) hoặc f’(x0):

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0hoặc y′(x0)=lim⁡x→x0ΔyΔxf'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ \text{hoặc } y'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

Trong đó:

  • Số gia của đối số là: ∆x = x – x0
  • Số gia của hàm số là: ∆y = y – y0

Hay các em có thể hiểu:

Đạo haˋm ba˘ˋng ∆y∆x laˋ raˆˊt nhỏ, giaˊ trị đạo haˋm tại một điểm x0 thể hiện:∙Chieˆˋu bieˆˊn thieˆn của haˋm soˆˊ (đang giảm hay ta˘ng, xem đạo haˋm tại đaˆy aˆm − hay dương +)∙Độ lớn của bieˆˊn thieˆn naˋy (Vıˊ dụ như đạo haˋm ba˘ˋng 1 → ∆y ta˘ng ba˘ˋng ∆x)=\begin{aligned} &\footnotesize\text{Đạo hàm bằng }\frac{∆y}{∆x}\text{ là rất nhỏ, giá trị đạo hàm tại một điểm }x_0\text{ thể hiện:}\\ &\footnotesize\bull\text{Chiều biến thiên của hàm số (đang giảm hay tăng, xem đạo hàm tại đây âm − hay dương +)}\\ &\footnotesize\bull\text{Độ lớn của biến thiên này (Ví dụ như đạo hàm bằng 1 → ∆y tăng bằng ∆x)} \end{aligned}=

Đạo hàm trị tuyệt đối là gì?

Sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = |x|

lim⁡Δx→0f(x+Δx)−xΔx\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-x}{\Delta x}

Thay giá trị |x| vào, đạo hàm của y là:

y′=lim⁡Δx→0∣x+Δx∣−∣x∣Δx (1)y'=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}\ (1)

Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí ∆x = 0, bởi vì hàm số y = |x| là 1 hàm số không liên tục và có dạng:

y=[x   ne^ˊu x≥0−x   ne^ˊu x<0y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ nếu \ x \geq0\\ -x \ \ \ nếu\ x <0 \end{array}\right.

Đồ thị hàm số y = |x| khi vẽ sẽ giúp các em thấy rõ hơn.

Độ thị đạo hàm trị tuyệt đối

Do đó, chúng ta không thể thay trực tiếp ∆x = 0 vào (1) để tính được, mà ta cần biến đổi thành dạng khác để mẫu khác 0 khi thay ∆x = 0 vào là được. Các em có thể làm như sau:

∙Đaˆˋu tieˆn, đưa phương trıˋnh veˆˋ dạng ca˘n của bıˋnh phương (bởi vıˋ ∣x∣=x2)(1)⇔lim⁡Δx→0(x+Δx)2−x2Δx∙Hai laˋ, nhaˆn tử vaˋ maˆ˜u cho (x+Δx)2+x2 nha˘ˋm mục đıˊch khử trường hợp maˆ˜u ba˘ˋng 0.⇔lim⁡Δx→0((x+Δx)2−x2)((x+Δx)2+x2)Δx((x+Δx)2+x2)⇔lim⁡Δx→0(x+Δx)2+x2(x+Δx)2−x2(x+Δx)2−x2Δx((x+Δx)2+x2)⇔lim⁡Δx→0x2+2xΔx+Δx2−x2Δx((x+Δx)2+x2)⇔lim⁡Δx→02xΔx+Δx2Δx((x+Δx)2+x2)⇔lim⁡Δx→02x+Δx(x+Δx)2+x2Vıˋ ∆x tieˆˊn tới 0 vaˋ sau khi bieˆˊn đổi, caˊc em coˊ thể thay ∆x = 0 vaˋo (2), ta được:=2xx2+x2=2x2x2=xx2=x∣x∣\begin{aligned} &\footnotesize \bull\text{Đầu tiên, đưa phương trình về dạng căn của bình phương (bởi vì }|x|=\sqrt{x^2})\\ &(1) \Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2}}{\Delta x}\\ &\footnotesize \bull\text{Hai là, nhân tử và mẫu cho } \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}\text{ nhằm mục đích khử trường hợp mẫu bằng 0.}\\ &\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2})(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\ &\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+x^2(x+\Delta x)^2-x^2(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\ &\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\ &\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\ &\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x+\Delta x}{{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}}}\\ &\text{Vì ∆x tiến tới 0 và sau khi biến đổi, các em có thể thay ∆x = 0 vào (2), ta được:}\\ &=\frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}}\\ &=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\ &=\frac{x}{|x|} \end{aligned}

Kết luận: Đạo hàm của hàm số y = |x| là:

y′=x∣x∣y'=\frac{x}{|x|}

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo Hàm Hàm Số Mũ Và Bài Tập Áp Dụng

Công thức tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối

Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, các em cần ghi nhớ một số công thức tính nhanh đạo hàm có thể kể đến như:

∙Haˋm soˆˊ phaˆn thức bậc nhaˆˊt: f(x)=ax+bcx+d⇒f’(x)=ad−bc(cx+d)2.∙Haˋm soˆˊ phaˆn thức bậc hai: f(x)=ax2+bx+cmx+n⇒f’(x)=amx2+2anx+bn−cm(mx+n)2.∙Haˋm soˆˊ đa thức bậc ba: f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f’(x)=3ax2+2bx+c.∙Haˋm soˆˊ truˋng phương: f(x)=ax4+bx2+c⇒f’(x)=4ax3+2bx.∙Haˋm soˆˊ chứa ca˘n bậc hai: f(x)=u(x)⇒f’(x)=u’(x)2u(x).∙Haˋm soˆˊ chứa trị tuyệt đoˆˊi: f(x)=∣u(x)∣⇒f’(x)=u’(x).u(x)∣u(x)∣.\begin{aligned} &\bull \text{Hàm số phân thức bậc nhất: }f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} ⇒ f’(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}.\\ &\bull \text{Hàm số phân thức bậc hai: }f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} ⇒ f’(x) = \frac{amx^2 + 2anx + bn - cm}{(mx + n)^2}.\\ &\bull \text{Hàm số đa thức bậc ba: }f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ⇒ f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c.\\ &\bull \text{Hàm số trùng phương: }f(x) = ax^4 + bx^2 + c ⇒ f’(x) = 4ax^3 + 2bx.\\ &\bull \text{Hàm số chứa căn bậc hai: }f(x) = \sqrt{u(x)} ⇒ f’(x) = \frac{u’(x)}{2\sqrt{u(x)}}.\\ &\bull \text{Hàm số chứa trị tuyệt đối: }f(x) = |u(x)| ⇒ f’(x) = \frac{u’(x).u(x)}{|u(x)|}. \end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng

Bài tập áp dụng

Bài tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. y=f(x)=∣x∣2. y=f(x)=∣x2−3x+2∣\begin{aligned} &1.\ y = f(x) = |x|\\ &2.\ y = f(x) = |x^2 - 3x + 2| \end{aligned}

Bài giải:

1. Ta coˊ:y=[x   khi x≥0−x   khi x<0Do đoˊ:y′=[1   khi x>0−1   khi x<0Xeˊt giaˊ trị x = 0f′(0+)=lim⁡x→0+1=1f′(0−)=lim⁡x→0−−1=−1f′(0+)≠f′(0−)⇒Haˋm soˆˊ khoˆng coˊ đạo haˋm tại x = 0.Keˆˊt luận: y′=[1   khi x>0−1   khi x<0vaˋ đạo haˋm khoˆng toˆˋn tại tại điểm x = 0\begin{aligned} &1. \text{ Ta có:}\\ &y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ khi \ x \geq0\\ -x \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\ &\text{Do đó:}\\ &y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\ -1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\ &\text{Xét giá trị x = 0}\\ &f'(0^+)=\lim\limits_{x \to 0^+}1=1\\ &f'(0^-)=\lim\limits_{x \to 0^-}-1=-1\\ &f'(0^+)\not=f'(0^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 0}.\\ &\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\ -1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 0} \end{aligned}

b.

Tập xaˊc định: D=RTa xeˊt daˆˊu f(x)=x2−3x+2 để coˊ keˆˊt quả sau:y=f(x)=[x2−3x+2    khi x≤1 hay x≥2−x2+3x−2    khi 1<x<2Ta tıˊnh y’:y′=[2x−3    khi x≤1 hay x≥2−2x+3    khi 1<x<2Ta xeˊt y’ tại caˊc điểm tieˆˊp giaˊp của caˊc khoảng:Tại x=1:‾f′(1+)=lim⁡x→1+(−2x+3)=1f′(1−)=lim⁡x→1−(2x−3)=−1f′(1+)≠f′(1−)⇒Haˋm soˆˊ khoˆng coˊ đạo haˋm tại x = 1.Tại x=2:‾f′(2+)=lim⁡x→2+(2x−3)=1f′(2−)=lim⁡x→2−(−2x+3)=−1f′(2+)≠f′(2−)⇒Haˋm soˆˊ khoˆng coˊ đạo haˋm tại x = 2.Keˆˊt luận: y′=[2x−3    khi x≤1 hay x≥2−2x+3    khi 1<x<2vaˋ đạo haˋm khoˆng toˆˋn tại tại điểm x = 1vaˋ x = 2\begin{aligned} &\text{Tập xác định: }D=\R\\ &\text{Ta xét dấu }f(x)=x^2-3x+2\text{ để có kết quả sau:}\\ &y=f(x)=\left[\begin{array} {c}x^2-3x+2\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -x^2+3x-2\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\ &\text{Ta tính y':}\\ &y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\ &\text{Ta xét y' tại các điểm tiếp giáp của các khoảng:}\\ &\underline{Tại\ x=1:}\\ &f'(1^+)=\lim\limits_{x \to 1^+}{(-2x+3)}=1\\ &f'(1^-)=\lim\limits_{x \to 1^-}{(2x-3)}=-1\\ &f'(1^+)\not=f'(1^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 1}.\\ &\underline{Tại\ x=2:}\\ &f'(2^+)=\lim\limits_{x \to 2^+}{(2x-3)}=1\\ &f'(2^-)=\lim\limits_{x \to 2^-}{(-2x+3)}=-1\\ &f'(2^+)\not=f'(2^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 2}.\\ &\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 1}\\& \text{và x = 2} \end{aligned}

Học online livestream Toán 10 – 11 – 12 chất lượng, uy tín tại Marathon Education

Đạo hàm trị tuyệt đối được xem là một trong những nội dung “khó nhằn” trong chương trình Toán Đại số lớp 11. Kiến thức này chủ yếu liên quan đến việc vận dụng công thức nên các em cần tập trung vào học thuộc lý thuyết và công thức tính nhanh đạo hàm thường gặp tại nhà. Ngoài ra, các em còn có thể lựa chọn đăng ký các khóa học online tại Marathon Education – nền tảng học livestream Toán – Lý – Hóa cấp 3 uy tín, chất lượng để bổ sung và củng cố kiến thức.

Nhằm đảm bảo chất lượng cho mỗi khóa học, tất cả các giáo viên tại Marathon Education đều có học vị Thạc sĩ trở lên và thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Bên cạnh đó, các thầy cô đều có từ 10 – 20 năm kinh nghiệm trong việc giảng dạy tại các trường có chất lượng giáo dục hàng đầu. 

Khi tham gia các lớp học livestream tại Marathon, các em sẽ có thể học và tương tác trực tiếp với giáo viên trên ứng dụng Class In như học trực tiếp tại trường học.

Hơn thế nữa, đội ngũ Cố vấn học tập chuyên môn luôn sẵn sàng đồng hành cùng các em và tận tình hỗ trợ giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập. Do vậy, các em có thể tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả và nhanh chóng nhất.

Ngoài ra, các em còn nhận được “bí kíp” sổ tay học tập Toán – Lý – Hóa được biên soạn rõ ràng và chi tiết từng nội dung trọng tâm, giúp các em hệ thống hóa các kiến thức tốt hơn.

Đặc biệt, nhằm đảm bảo môi trường học tập tốt nhất cho các em học sinh, Marathon luôn chú trọng đến đường truyền mạng ổn định, hình ảnh chân thật và âm thanh chất lượng tốt.

Các em hãy nhanh tay đăng ký các lớp học online livestream tại Marathon Education trước ngày 15/02/2022 để có thể nhận ngay chương trình ưu đãi học phí lên đến 39%, cùng nhiều phần quà hấp dẫn khác.Trên đây là những nội dung về đạo hàm trị tuyệt đối mà các em cần nắm vững. Bên cạnh việc học tập khái niệm, các em cũng cần ghi nhớ các công thức tính nhanh và làm bài tập vận dụng thường xuyên để có thể nâng cao trình độ của bản thân. Hy vọng những chia sẻ này của Team Marathon Education sẽ giúp các em nhiều trên hành trình chinh phục môn Toán 11. Chúc các em luôn thi tốt và đạt kết quả xuất sắc trong học kỳ tới!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM

Cách Tính Đạo Hàm Tanx

Cách Tính Đạo Hàm Tanx Và Bài Tập Áp Dụng
Cách Tìm Đạo Hàm Cos2x Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án

Cách Tìm Đạo Hàm Cos2x Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án
Cách Tìm Đạo Hàm Sin2x. Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án

Cách Tìm Đạo Hàm Sin2x. Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án