Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập Áp Dụng

f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\
\text{hoặc } y'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Đạo hàm bằng }\frac{∆y}{∆x}\text{ là rất nhỏ, giá trị đạo hàm tại một điểm }x_0\text{ thể hiện:}\\
&\footnotesize\bull\text{Chiều biến thiên của hàm số (đang giảm hay tăng, xem đạo hàm tại đây âm − hay dương +)}\\
&\footnotesize\bull\text{Độ lớn của biến thiên này (Ví dụ như đạo hàm bằng 1 → ∆y tăng bằng ∆x)}
\end{aligned}=

\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-x}{\Delta x}

y'=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}\ (1)

y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ nếu \ x \geq0\\
-x \ \ \ nếu\ x <0 \end{array}\right.

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull\text{Đầu tiên, đưa phương trình về dạng căn của bình phương (bởi vì }|x|=\sqrt{x^2})\\
&(1) \Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2}}{\Delta x}\\
&\footnotesize \bull\text{Hai là, nhân tử và mẫu cho } \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}\text{ nhằm mục đích khử trường hợp mẫu bằng 0.}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\sqrt{(x+\Delta x)^2}-\sqrt{x^2})(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+x^2(x+\Delta x)^2-x^2(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{{\Delta x(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2})}}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x+\Delta x}{{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}}}\\
&\text{Vì ∆x tiến tới 0 và sau khi biến đổi, các em có thể thay ∆x = 0 vào (2), ta được:}\\
&=\frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}}\\
&=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}\\
&=\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\
&=\frac{x}{|x|}
\end{aligned}

y'=\frac{x}{|x|}

\begin{aligned}
&\bull \text{Hàm số phân thức bậc nhất: }f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} ⇒ f’(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}.\\
&\bull \text{Hàm số phân thức bậc hai: }f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} ⇒ f’(x) = \frac{amx^2 + 2anx + bn - cm}{(mx + n)^2}.\\
&\bull \text{Hàm số đa thức bậc ba: }f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ⇒ f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c.\\
&\bull \text{Hàm số trùng phương: }f(x) = ax^4 + bx^2 + c ⇒ f’(x) = 4ax^3 + 2bx.\\
&\bull \text{Hàm số chứa căn bậc hai: }f(x) = \sqrt{u(x)} ⇒ f’(x) = \frac{u’(x)}{2\sqrt{u(x)}}.\\
&\bull \text{Hàm số chứa trị tuyệt đối: }f(x) = |u(x)| ⇒ f’(x) = \frac{u’(x).u(x)}{|u(x)|}.
\end{aligned}

\begin{aligned}
&1.\ y = f(x) = |x|\\
&2.\ y = f(x) = |x^2 - 3x + 2|
\end{aligned}

\begin{aligned}
&1. \text{ Ta có:}\\
&y=\left[\begin{array} {c}x \ \ \ khi \ x \geq0\\
-x \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\
&\text{Do đó:}\\
&y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\
-1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right.\\
&\text{Xét giá trị x = 0}\\
&f'(0^+)=\lim\limits_{x \to 0^+}1=1\\
&f'(0^-)=\lim\limits_{x \to 0^-}-1=-1\\
&f'(0^+)\not=f'(0^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 0}.\\
&\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}1 \ \ \ khi \ x >0\\
-1 \ \ \ khi\ x <0 \end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 0}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\text{Tập xác định: }D=\R\\
&\text{Ta xét dấu }f(x)=x^2-3x+2\text{ để có kết quả sau:}\\
&y=f(x)=\left[\begin{array} {c}x^2-3x+2\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -x^2+3x-2\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\
&\text{Ta tính y':}\\
&y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right.\\
&\text{Ta xét y' tại các điểm tiếp giáp của các khoảng:}\\
&\underline{Tại\ x=1:}\\
&f'(1^+)=\lim\limits_{x \to 1^+}{(-2x+3)}=1\\
&f'(1^-)=\lim\limits_{x \to 1^-}{(2x-3)}=-1\\
&f'(1^+)\not=f'(1^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 1}.\\
&\underline{Tại\ x=2:}\\
&f'(2^+)=\lim\limits_{x \to 2^+}{(2x-3)}=1\\
&f'(2^-)=\lim\limits_{x \to 2^-}{(-2x+3)}=-1\\
&f'(2^+)\not=f'(2^-) \Rightarrow \text{Hàm số không có đạo hàm tại x = 2}.\\
&\text{Kết luận: }y'=\left[\begin{array} {c}2x-3\ \ \ \ khi\ x\leq1\ hay\ x\geq2\\ -2x+3\ \ \ \ khi\ 1< x < 2\end{array}\right. \text{và đạo hàm không tồn tại tại điểm x = 1}\\& \text{và x = 2}
\end{aligned}