Trong chương trình Toán học trung học phổ thông, đạo hàm của hàm số là một nội dung vô cùng quan trọng. Vậy đạo hàm là gì? Những công thức tính đạo hàm nào hay gặp nhất? Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ tổng hợp cho các em lý thuyết đạo hàm là gì và các công thức tính đạo hàm thường gặp.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
Để giải các bài toán về đạo hàm, các em cần hiểu rõ khái niệm đạo hàm là gì. Theo toán học giải tích, đạo hàm thực chất là một đại lượng được dùng để mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó.
\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Cho hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a;b) và }x_0 \text{ ∈ (a;b).}\\
&\footnotesize\text{Giới hạn hữu hạn của tỉ số }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ (nếu có) khi x} \to x_0 \text{ được gọi là}\\
&\footnotesize\text{đạo hàm của hàm số f(x) tại }x_0. \text{ Ký hiệu đạo hàm là }f'(x_0)\text{ hay }y'(x_0).
\end{aligned}Như vậy:
f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}Đặt: x – x0 = ∆x và ∆y = f(x0+∆x) – f(x0) thì các em sẽ có được:
f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Trong đó:
Khi các em đã biết được đạo hàm là gì, nội dung này cũng sẽ trở nên đơn giản hơn. Dựa vào định nghĩa trên, các em có thể tính đạo hàm của hàm số theo các bước sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Bước 1: Tính } Δy = f(x0+Δx) − f(x0)\text{ với Δx là số gia của số đối tại }x_0.\\
&\footnotesize\text{Bước 2: Lập tỉ số }\frac{\Delta y}{\Delta x}.\\
&\footnotesize\text{Bước 3: Tính}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{aligned}Nhận xét: Nếu các em thay x0 = x thì sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).
Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.
Lưu ý: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x0. Tuy nhiên, một hàm số liên tục tại một điểm cũng có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) thì f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0 (x0; f(x0)).
Lúc này, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0 (x0;f(x0)) sẽ là:
y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)
Ngoài ý nghĩa hình học thì đạo hàm còn có ý nghĩa vật lý. Vậy ý nghĩa vật lý của đạo hàm là gì?
Trong một chuyển động thẳng, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t có thể được tính bằng công thức v(t) = s'(t).
Sau khi biết được đạo hàm là gì, các em hãy ghi nhớ một số công thức tính đạo hàm thường gặp sau để áp dụng giải các bài tập.
Công thức tính đạo hàm hàm hợp:
\begin{array}{ccc}
(u+v)'=u'+v' & (uv)'=u'v+uv'&\left( \frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\
y'_x=y'_u.u'_x&(ku)'=k.u'&\left( \frac{k}{u}\right)'=\frac{k.u'}{u^2}
\end{array}Công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp:
Công thức tính đạo hàm cấp cao:
Các quy tắc tính đạo hàm:
Công thức tính đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ thường gặp:
Giải các bài toán đạo hàm không quá khó nếu các em nắm vững kiến thức lý thuyết đạo hàm là gì cùng các công thức tính. Ngoài việc tham gia các buổi học trên lớp, các em có thể đăng ký học online livestream Toán cấp 3 tại Marathon Education nhằm củng cố và bổ sung kiến thức.
Marathon Education là nền tảng học online livestream Toán – Lý – Hóa dành cho học sinh cấp 3 được đánh giá tốt nhất hiện nay. Các giáo viên tại Marathon đều thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc với trình độ Thạc sĩ trở lên. Ngoài ra, các thầy cô đều có hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy thực tế và đạt được nhiều thành tích nổi bật.
Với mong muốn giúp các em có những trải nghiệm thú vị và có được kết quả cao trong học tập, Marathon Education đã ứng dụng nền tảng công nghệ mới nhất. Vì thế, các lớp học trực tuyến luôn được đảm bảo đường truyền ổn định, không bị giật/lag, hình ảnh sắc nét, âm thanh rõ ràng.
Mặc dù là học trực tuyến nhưng với hình thức livestream các em học sinh vẫn có thể tương tác với giáo viên giảng dạy như học offline trên lớp. Đặc biệt, đội ngũ Cố vấn học tập của Marathon luôn đồng hành và hỗ trợ giải đáp kịp thời những thắc mắc của các em. Bên cạnh đó, các em sẽ được trang bị sổ tay tổng hợp kiến thức Toán – Lý – Hóa để thuận tiện cho việc học và ôn tập.
Hiện tại, Marathon Education đang có chương trình ưu đãi học phí lên đến 39% khi đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa lớp 10 – 11 – 12 trong thời gian từ nay cho đến ngày 15/02/2022. Các em hãy đăng ký ngay nhé!
Qua bài viết này, Marathon Education đã tổng hợp những nội dung cơ bản để các em hiểu rõ đạo hàm là gì và các công thức tính đạo hàm thường gặp. Đây là kiến thức trọng tâm để chuẩn bị cho kỳ thi THPTQG. Các em hãy chú ý học thuộc, nắm chắc các công thức để giải đúng các bài tập và dễ dàng vượt qua các kỳ thi. Chúc các em học tập tốt!
